习题8?7
1? 求函数z?x2+y2在点(1? 2)处沿从点(1? 2)到点(2, 2?3)的方向的方向导数?
解 因为从点(1? 2)到点(2, 2?3)的向量为l?(1, 3)? 故 el?l?(1, 3)?(cos?, cos?)? |l|22 又因为 ?z?x(1,2)?2x(1,2)?2? ?z?y?2y(1,2)(1,2)?4? 故所求方向导数为
?z??zcos???zcos??2?1?4?3?1?23? ?l?x?y22 2? 求函数z?ln(x?y)在抛物线y2?4x上点(1? 2)处? 沿这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数? 解 方程y2?4x两边对x求导得2yy??4? 解得y??2? y 在抛物线y2?4x上点(1? 2)处? 切线的斜率为y?(1)?1? 切向量为l?(1? 1)? 单位切向量为el?(1, 1)?(cos?, cos?)? 22 又因为 ?z?x?(1,2)11?z ?? x?y(1,2)3?y?(1,2)11 ?? x?y(1,2)3故所求方向导数为
?z??zcos???zcos??1?1?1?1?2? ?l?x?y3232322x2yx2yab 3? 求函数z?1?(2?2)在点(, )处沿曲线2?2?1abab22在这点的内法线方向的方向导数?
22yx2yF? 解 令F(x,y)?2?2?1? 则Fx?2x? ? y22abab从而点(x? y)处的法向量为
, n??(Fx, Fy)??(2x2a2y)? 2b在(a, b)处的内法向量为 222x2y n??(2, 2)ab(??(22, )? aba2,b2)单位内法向量为 en?(? 又因为 ?z?x(a2,b2)ba?b22, ?aa?b22)?(cos?, cos?)? ??2xa2(a2,b2)??2a? ?z?y(a2,b2??)2yb2(a2,b2??)2? b所以 ?z??zcos???zcos? ?n?x?y
?2?a2b2a???baba2?b2a2?b2a2?b2?
4? 求函数u?xy2?z3?xyz在点(1? 1? 2)处沿方向角为?? ?? 3?? ?4? ?? ?的方向的方向导数? 3 解 因为方向向量为
l?(cos?,cos?,cos?)?(1, 2, 1)? 222又因为 ?u?x(1,1,2)?(y2?yz)(1,1,2)??1? ?u?y(1,1,2)?(2xy?xz)(1,1,2)?0? ?(3z2?xy)(1,1,2)?11? ?u?z?l(1,1,2)所以 ?u??ucos???ucos???ucos? ?x?y?z ?(?1)?1?0?2?11?1?5? 222 5? 求函数u?xyz在点(5?1?2)处沿从点(5? 1? 2)到点(9? 4? 14)的方向的方向导数? 解 因为
l?(9?5? 4?1? 14?2)?(4? 3? 12)?
el?l?(4, 3, 12)? |l|131313(5,1,2)并且 ?u?x(5,1,2)?yz?2? ?u?y(5,1,2)?xz(5,1,2)?10? ?5? ?u?z?l(5,1,2)?xy(5,1,2)所以 ?u??ucos???ucos???ucos? ?x?y?z ?2?4?10?3?5?12?98? 13131313 6? 求函数u?x2?y2?z2在曲线x?t? y?t2? z?t3上点(1? 1? 1)处? 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导? 解 曲线x?t? y?t2? z?t3上点(1? 1? 1)对应的参数为t?1? 在点(1? 1? 1)的切线正向为
l?(1, 2t, 3t2)t?1?(1, 2, 3)? el?l?(1,2,3)? |l|141414又 ?u?x(1,1,1)?2x(1,1,1)?2? ?u?y(1,1,1)?2y(1,1,1)?2? ?2? ?u?z(1,1,1)?2z(1,1,1)
所以 ?u?l(1,1,1)??u?u?ucos??cos??cos??x?y?z ?2?1?2?2?2?3?12? 14141414 7? 求函数u?x?y?z在球面x2?y2?z2?1上点(x0? y0? z0)处? 沿球面在该点的外法线方向的方向导数?
解 令F(x? y? z)?x2?y2?z2?1? 则球面x2?y2?z2?1在点(x0? y0? z0)处的外法向量为
n?(Fx, Fy, Fz)(x,y,z)?(2x0, 2y0, 2z0)? 000 en?n?(x0, y0, z0)?(cos?,cos?,cos?)? |n|又 ?u??u??u?1? ?x?y?z所以 ?u??ucos???ucos???ucos? ?n?x?y?z ?1?x0?1?y0?1?z0?x0?y0?z0?
8? 设f(x? y? z)?x2?2y2?3z2?xy?3x?2y?6z? 求grad f(0? 0? 0)及grad f(1? 1? 1)? 解 因为 ?f?f?f?2x?y?3? ?6z?6? ?4y?x?2? ?x?z?y?f?x?3? (0,0,0)?f?y??2? (0,0,0)?f?z(0,0,0)??6? ?f?x?6? (0,1,1)?f?y?3? (0,1,1)?f?z(0,1,1)?0? 所以 grad f(0? 0? 0)?3i?2j?6k?