第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）
一、填空（每题10分，共80分） 1、计算：?17.85?1139996?4??35?99?357?6?30??6????2???????8解析：?? ?????????8?????17?13??53?130130130?20?17?13??15?22??b?a??b?a?2、“b的相反数与a的差的一半的平方”的代数表达式为 。解析：??或??
22????3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，例如：3⊕5=5，3⊙5=3，
则
400.7?7?2600?1212 解析：
112113?674、
(m?n)2?(?5)2?m?n??6,(m?n)2?(?6)2(m4?n4)?(m2?n2)2?2m2n2代入数据，原式=97已知 m?n??5，m2?n2?13，那么 m4?n4= 97 。解析：
5、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的表面积最多是 48 。
图1（从上向下看） 图2（从正面看）
解析：从两个视图可知，该立体的排布最多如图所示，则表面积最多为48 6、满足不等式3|n?1|?2n?2|3n?1|的整数n的个数是 5 。
解析：n-1=0 则n=1， 3n+1=0 则n=-1/3
当n-1>=0时，n>=1， 3(n-1)-2n>2(3n+1)，5n<-5 ，n<-1, 则n无解
当-1/3 7、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。新学年时，该年级人数增加到585人，仍被分为人数相同的若干个班，但是多了6个班，则这个年级原有 7 个班。 ?280?a??x??585?b?x?6解析：设原有x个班，原来每个班有a人，现在每个班有b人，根据题意得：?∵由于585为 奇数，因此对任意偶数x，x+6都不可能整除585，这样x只能取1，5，7，35，其中满足条件的只有7， ∴7为唯一解． 8、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数，并且最大角是最小角的5倍，那么这个三角形的最大角的度数是 85 。 解析：设最小角是x，则最大角是5x，中间一个是180-x-5x=180-6x，∵该三角形是锐角三角形，∴x≤180°-6x≤5x＜90°，∴ 16411≤x＜18，∴x=17°，∴5x=85°．故答案为：85 二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9、已知a，b，c都是整数，当代数式 7a?2b?3c 的值能被13整除时，那么代数式 5a?7b?22c的值是否一定能被13整除，为什么？ 解析：设x，y，z，t是整数，并且假设 5a?7b?22c?x(7a?2b?3c)?13(ya?zb?tc)（1），比较上式a，b，c的系数，应当有7x?13y?5，2x?13z?7，3x?13t??22 （2），取 x??3，可以得到 y?2，z?1， t??1，则有13(2a?b?c)?3(7a?2b?3c)?5a?7b?22c（3），既然 3(7a?2b?3c)和13(2a?b?c)都能被13 整除，5a?7b?22c就能被13整除。 【说明】 5a?7b?22c表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取x?10，则有 y??5，z??1，t??4，则有5a?7b?22c?10(7a?2b?3c)?13(5a?b?4c)实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到x??3?13k，y?2?7k，这里k是任意整数，将 x??3?13k代入其余方程，解得z?1?2k，t??1?3k，这里k是任意整数，则可以有 5a?7b?22c?(?3?13k)(7a?2b?3c)?13[(2?7k)a?(1?2k)b?(?1?3k)c] 10、如图3所示，在四边形ABCD中，AM?MN?ND，BE?EF?FC，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面 S2S1?S3积分别记为S1，S2和S3，求 =？ （提示：连接AE、EN、NC和AC） 解析：如图3a，连接AE、EN和NC，易知由 S?AEM?S?MEN， S?CNF?S?EFN，两个式子相加得 S?AEM?S?CNF?S2 （1）并且四边形AECN的面积=2S2。 连接AC，如图3b,由三角形面积公式，易 知 S?ABE?111S?ABE?S?CDN?S四边形AECN?S2S?AECS?CDN?S?CNA222， ，两个式子相加得： （2）,将（1） 式和（2）相加，得到S?AEM?S?CNF?S?ABE?S?CDN?2S2，既然S?AEM?S?ABE?S1,S?CNF?S?ABE?S3 S2S211??因此 S1?S3?2S2， S1?S32。 答：S1?S32 11、图4是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数。请写出这个9位数，简单说明理由。 解析：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格。第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图4左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格 子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图4右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图4中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法如图。九位数是 495186273。 12、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由） 解析：（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法。因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形。但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点 6?5?4?20可以构造 3?2?1个不同的三角形。 （2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形。 （3）用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母。这里不同的英文大写字母仅有6个。因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A。根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同。但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母。所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边。 又显然?ABC，?ADE，?BDF和?CEF这4个三角形两两没有公共边。所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边。 三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程） 13、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”。已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁。请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？ 解析：设刘芳的年龄为x岁。 ① 刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳。注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳。 ②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为 （2x?27） 路路(36?x)岁，他的妈妈应当是 (36?x?27)岁，和为 (99?2x) 菲菲(x?29)岁，她的妈妈应当是 (x?29?27)岁，和为 (2x?31) 由于6个人共105岁，所以，(2x?27)?(99?2x)?(2x?31)?105。 ③解出x=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王