最新版高等数学课后习题答案(复旦大学出版社)(李开复编)

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺

limx2?2x?5x?0=5

??4?sin2??lim?3=1

2sinx??x??cos22?cos?x??2xx?x?x?x22limsinx?sin??limx??x??x??lim

x????1xx2?x?x2?x?lim1x??xlim?x????1lime?ex???e0?1

limlnx?0sinx?sinx??ln?lim?ln1?0?x?0xx??x21?1??1?lim?1???lim?(1?)??e2x??x??x?x???1x12

20. 设函数

f(0)?a?exf?x????a?xx?0x?0, 应怎样选择a,使f?x?在???,???内连续。

f(0?0)?limex?1x?0?

b?0,?a?1时,f(x)在(-?,+?)内连续21. 证明方程x?asinx?b其中a?0,一正根,并且它不超过a?b.

至少有

证明:令f(x)?asinx?b?x显然,f(x)在?0,a?b?上连续f(0)?b?0f(a?b)?asin(a?b)?b?a?b?asin(a?b)?a?0若f(a?b)?0,取?=a?b;若f(a?b)?0,???(0,a?b)使f(?)?0?方程至少有一正根且不超过a?b.

22. 若f?x?在?a,b?上连续,a?x1, 则在

?x,x?上必有?, 使

1?x2????xn?bnf????f?x1??f?x2???f?xn?n.

证明:f(x)在?x1,xn?连续,?最大值M与最小值m,使m?f(x)?M,i?1,2,...,n?nm??f(?i)?nMi?1n即m??f(?)ii?1nn?Mf(x1)?f(x2)?...?f(xn)n由介值定理,????x1,xn?使f(?)?

23. 证明: 若f?x?在???,???内连续, 则

f?x?limf?x?x??存在,

.

必在

???,???内有界

证明:设limf(x)?A,对??1,?X当x?X时,有f(x)?A?1成立,即x??f(x)?1?A又f(x)在??X,X?上连续,故有界,即?M1使f(x)?M1取M=max?M1,1?A?,则对?x?(??,??),有f(x)?M,即f(x)在(??,??)内有界。

第二章 导数与微分

典型例题解析

f(x0?x)?f(x0?3x)例1 设f(x)在x0处可导,求lim. x?0x分析 所求极限与f?(x0)的定义式子很相似,则由f?(x0)的定义即可求解.

f(x0?x)?f(x0?3x)[f(x0?x)?f(x0)]?[f(x0)?f(x0?3x)]解 lim= limx?0x?0xx=

limx?0f(x0?x)?f(x0)f(x0?3x)?f(x0) ?3limx?0x?3x=f?(x0)?3f?(x0)=4f?(x0).

错误解答 令x0?3x?t,则x0?3x?t,

limx?0f(x0?x)?f(x0?3x)x=

limx?0f(t?4x)?f(t)x=

4limf?(t)

x?0(1)

=4limf?(x0?3x)=4f?(x0). (2) x?0错解分析 式(1)用到f(x)在点t的导数;式(2)用到f?(x)在点x0连续.但是题目只是给出f(x)在x0处可导的条件,而f(x)

在x0的邻域内是否可导以及f?(x)在x0处是否连续都未知.所以上述做法中的式(1)与式(2)有可能不成立.

例2 设f(x)??(a?bx)??(a?bx),其中?(x)在(??,??)上有定义且在点a处可导.试求f?(0).

分析 求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求;也可先求导函数,然后求导函数在该点的函数值,但在本题中函数f(x)的可导性未知,故只能用定义来求.

f(x)?f(0)?(a?bx)??(a?bx)解 当b?0时,lim= limx?0x?0x?0x=

lim[?(a?bx)??(a)]?[?(a?bx)??(a)] x?0x=

blimx?0?(a?bx)??(a)bx?blimx?0?(a?bx)??(a)?bx

=b??(a)?b??(a)=2b??(a).

所以f?(0)=2b??(a).

当b?0时,f(x)?0,f?(0)?0. 综上所述,f?(0)=2b??(a).

)?(x ),其中?(x)的一阶导函数有例3 设函数f(x)?(x?a2界.求f??(a).

分析 求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求,但必须先求出一阶导数;也可先求出二阶导函数,然后求二阶导函数在该点的函数值,但在本题中函数f?(x)的可导性未知,故只能用定义来求.

解 由于f?(x)?2(x?a)?(x)?(x?a)2??(x),则有f?(a)?0.又

2(x?a)?(x)?(x?a)2??(x)f?(x)?f?(a)=lim limx?ax?ax?ax?a=lim[2?(x)?(x?a)??(x)]=2?(a), x?a所以f??(a)=2?(a).

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