最新版高等数学课后习题答案(复旦大学出版社)(李开复编)

下孰优孰劣.

例29 设函数y?y(x)是由方程x?ef(y)?ey所确定,其中f(x)具有二阶导数且

d2yf?(x)?1.求2dx.

解法1 对方程x?ef(y)?ey两边关于x求导,得

ef(y)?x?ef(y)?f?(y)?y??ey?y?,

1y?ee1x即y?=yf(y)=yy?=,上式两端再对x求导得 e?xe?f?(y)e?e?f(y)x[1?f?(y)]f(y)y??f??(y)?[1?f?(y)]2x2[1?f?(y)]3=

?1?{1?f?(y)?x[?f??(y)?y?]}x2[1?f?(y)]2=

lnx?f(y)?y,

解法2 方程x?ef(y)?ey两端取对数得

对其两端关于x求导则有

1?f?(y)?y??y?, x解得y?=

1.以下同解法

x[1?f?(y)]1.

注 利用原方程简化导数表达式是隐函数求导常用的方法之一,在求隐函数的高阶导数时尤其显得重要.

例30 求函数y?(x)x的导数dy.

1?xdx分析 所给函数为幂指函数,无求导公式可套用.求导方法一般有两种:对数求导法和利用恒等式x?elnx(x?0),将幂指函数化为指数函数.

解法1 对数求导法.

对等式y?(xx)两边取自然对数得 1?xlny?x[lnx?ln(1?x)],

两边对x求导得

111?y??[lnx?ln(1?x)]?x(?), yx1?x解得

xxx1y??()?(ln?). 1?x1?x1?x解法2 利用恒等式x?elnx,(x?0).

xxln()xx1?xy?()?e?ex?[lnx?ln(1?x)]. 1?x于是

y?=ex?[lnx?ln(1?x)]?{x?[lnx?ln(1?x)]}?

=(xxx1)?(ln?). 1?x1?x1?x注 一般的可导幂指函数y?u(x)v(x)均可采用上述两种方法求导.

例31 求由方程(cosx)y?(siny)x所确定的函数y(x)的导数dy.

dx分析 此题为幂指函数和隐函数求导数的综合问题. 解法1 对方程(cosx)y?(siny)x两边取自然对数得

ylncosx?xlnsiny,

两端对x求导,则有

y??lncosx?y?

?sinxcosy?lnsiny?x??y?, cosxsiny解得

dylnsiny?ytanx?dxlncosx?xcoty.

解法2 原方程可变为eylncosx?exlnsiny,即

ylncosx?xlnsiny.

对上式两边微分:

d(ylncosx)?d(xlnsiny)

即lncosxdy?ydlncosx?lnsinydx?xdlnsiny,

于是有lncosxdy?ysinxdx?lnsinydx?xcosydy,由此解得

cosxsinydylnsiny?ytanx?dxlncosx?xcoty.

例32 求函数y?x?2?(3?x)4(1?x)5的导数.

分析 该题属于求多个函数的乘积或幂的导数,用对数求导法较好.

解法1 两端先取绝对值,再取对数得

1ln|y|?ln(x?2)?4ln|3?x|?5ln|x?1|,

2两边对x求导,得

1145. ?y????y2(x?2)3?xx?1所以y??x?2?(3?x)4145?(??).

(1?x)52(x?2)3?xx?1x?2?(3?x)4(1?x)5解法2 y?y?=(x?2)12?(3?x)4(1?x)?5

12=

1?1(x?2)2?(3?x)4(1?x)?52?4(x?2)?(3?x)3(1?x)?5

?5(x?2)?(3?x)4(1?x)?6

12=例

x?2?(3?x)4145?(??).

(1?x)52(x?2)3?xx?1?x?1?t2d2y33 设?,则2?________.

dxy?cost?分析 这是要求由参数方程确定函数的二阶导数,需要先求一阶导数.

dydt解 dy?dxdxdt=?sint,

2td2yddyd?sintd?sintdtsint?tcost?()?()?()?=2dxdxdxdx2tdt2tdx4t3.

错误解答 dydx=

dydtdxdt=?sint2td2y,2dx=(?sint)?=sint?t2cost.

2t2t错解分析 出错的原因在于忽视了dy=?sint是t的函数,tdx2t为参数且是中间变量,而题目的要求是求

ddy().因此,在求dxdx这类函数的二阶或三阶导数时要注意避免这类错误发生.

例34 设x?f?(t),y?tf?(t)?f(t)且解 dy=

dxd2ydx2dydtdxdtd2yf??(t)?0.求2dx.

=

d(tf?(t)?f(t))dt=t, d(f?(t))dt=

1ddyddydtddt=1. ()=()?=(t)?=1?f??(t)f??(t)dxdxdtdxdxdtdx

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