2013~2014学年度高二第一学期期末考试
试题高二数学（文科）
一、选择题
1. “x?x?0”是“x?1”的( B ）[来源:Zxxk.Com]
A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．已知命题p：?x∈R，x>sinx，则p的否定形式为( C )
A．非p：?x∈R，x 2x2y212.过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作 abx轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若 ?F1PF2?60?，则椭圆的离心率为 （ B ） A． 2311 B． C． D． 23232a7?( A ） A.?4 B.?4 C. ?2 D. ?2 24. 已知数列｛an｝的前n项和Sn?n?n，那么它 的通项公式为an=( B ) A.n B.2n C.2n+1 D.n+1 13.不等式x?3x?2?0的解集为（ D ） A ???,?2????1,???B． ??2,?1? x2y25. 设F1,F2是椭圆??1的两焦点，P为椭圆上 259一点，则三角形PF1F2的周长为（ B ） A．16 B．18 C．20 D．不确定 6．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ C ） A． C．???,1???2,??? D．?1,2? 14.设条件p:a?0；条件q:a2?a?0，那么p是q的什么条件 （ A ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．非充分非必要条件 15.设等比数列{an}的公比q?2， 前n项和为Sn，则 3231 B． C． D． 22327．下列说法中，正确的是( B ) 22 A．命题“若am 2 B．已知x?R，则“x-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件 C．命题“p∨q”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题 D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 S4?（ C ） a2C. 1517 D. 22 16.?ABC中，?B=60?，?A=45?，a=4，则b边的长 A. 2 B. 4 为( D ) A.2 B.42 C.22 D．26 17.在以椭圆左焦点F、坐标原点O及短轴一顶点B为顶点的?FBO，若cosFBO?828．已知x>0, y>0,??1,则x+y的最小值为( C ) yxA. 6 B. 12 C. 18 D. 24 9. 已知等差数列{an}满足a2+a4=4, a3+a5=10,则它的前10项和为（ C ） A．138 B.135 C.95 D.23 10.在?ABC中，a，若b，c分别为角A，B，C所对边，a?2bcosC，则此三角形一定是( C ) A．等腰直角三角形 B．直角三角 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 3，则椭圆的离2心率为 （ B ） A． 2321 B. C. D. 323211.等差数列{an}的前 n项和为 Sn,若a2?a8?a11?30，那么S13值的是（ A ） A．130 B．65 C．70 D．以上都不对 1 18.对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a?b”是“ac?bc”充要条件； ②“a?5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 22 ③“a>b”是“a>b”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个 数是( D ) A．1 B．2 C．3 D．4 326．函数f(x)?x?3x的单调递减区间为( B ) （A）(??,0) (B)(0,2) （C）(2,??) (D)(??,0)?(2,??) 27．已知椭圆的两个焦点为F1(?5,0)，F2(5,0)， 3219．与直线y?4x?1平行的曲线y?x?x的切线方程是（ B ） A. 4x?y?0 B. 4x?y?2?0或4x?y?2?0 C. 4x?y?2?0 D. 4x?y?0或4x?y?4?0 2 20．函数y=xcosx+9的导数为 （ B ） M是椭圆上一点， 22??????????A．y′=xcosx-2xsinx B．y′=2xcosx-xsinx 若MF1?MF2?0，MF1?MF2?8，则该椭圆的方22 C．y′=2xcosx+xsinx D．y′=xcosx-xsinx 程是(C) 2221．椭圆 xy??1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一1625点，若PF1?2，则PF2?（ D ） A.2 B.4 C.6 D.8 x2y2x2y2(A) ??1 (B) ??1 7227x2y2x2y2(C) ??1 (D) ??1 944928.等差数列{an}中, 若a3?a4?a5?a6?a7?450,则a2?a8等于( C ) A. 45 B. 75 C. 180 D. 320 29.等比数列{an}中, a4?4,则a2?a6等于( C ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 y2x222．经过点M(26,?26)且与双曲线??1有 34共同渐近线的双曲线方程为（ A ） y2x2 A． B. ??1 68yx??1862222xyx2y2 C．? D． ?1??1 866823．椭圆 xy??1的离心率为( B ) 16822（A） 2311 (B) （C） (D) 232 3?x?y?1?0?x?2y30.若实数x,y满足?x?y?0,则z?3的最小 ?x?0?值是( A ) A. 1 B. 0 C. 3 D. 9 31.曲线y?x?2x?1在点(1,2)外的切线方程是 324．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x??2，则抛物线的方程是( B ) （A）y??8x （B）y?8x (C) y??4x (D) y?4x 25．过抛物线y?2px?p?0?的焦点作倾斜角为 22222( A ) A. y?x?1 B. y??x?1 C. y?2x?2 D. y??2x?2 32.抛物线y?4x的准线方程是( D ) A. y?1 B. y??1 C. y?245?的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点 坐标为?3,2?，则p的值为( C ) （A） 1 (B)1 （C）2 (D)4 2 2 11 D. y?? 1616x233.双曲线?y2?1的焦点坐标为( C ) 4A. (±3,0) B. (0,±3) C. (±5,0) D. (0,±5) 二.填空题 x2y2??1 . 36x2y242.F1,F2分别为椭圆2?2?1的左、右焦点,点P ab2在椭圆上,△POF2是面积3的正三角形,则b的值是 21的最小值是____3______. a?12x?11135．不等式?0的解集为__{x|x>或x<}_. 3x?123?0?x?4?36. 已知ｘ，ｙ满足?0?y?3，则2ｘ＋ｙ的最大 ?x?2y?8?34. 若a?1,则a?值为__10___. = b?23 . 三、解答题 43. 如图，在四边形ABCD中，已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求BC的长. 解析：在△ABD中， 设BD=x，则BA2?BD2?AD2?2BD?AD?cos?BDA 即142?x2?102?2?10x?cos60? 整理得：x2?10x?96?0 解之：x1?16 x2??6（舍去） 由正弦定理： BC?BCBD ∴?sin?CDBsin?BCDx2y237．已知点P（4，2）是直线L被椭圆??1所 369截得的弦的中点，则直线L的方程为___ x+2y-8=0__. 38.下列命题： ①命题“若x?3x?2?0 则 x?1”的逆否命题为：“若x?1, 则x?3x?2?0”. ②“x?1”是“x?3x?2?0”的充分不必要条件.③若p?q为假命题，则p、q均为假命题. ④对于命题p：使得x?x?1?0. 则?p：?x?R，2 均有x?x?1?0 ?x?R，22216?sin30??82 ?sin1352 44. 已知命题p：方程x2?mx?1?0有两个不等的负实根；q：方程4x?4(m?2)x?1?0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m2说法错误的是 ③ . ．． 39．已知a,b,c?R，命题“若a?b?c?3，则 的取值范围． 解析：当 P为真时，有 a2?b2?c2?3”的否命题是 ___若a?b?c?3，则a2?b2?c2?3 ____. 40．“m????0?m2?4?0???m?2 ?x1?x2?0??1?x?x?0???0?m?12 当 Q 为 真 时 ， 有 ??16(m?2)2????0?1?m?? 12”是“一元二次方程x?x?m?0”有4由题意:“P或Q”真，“P且Q”为假 等价于 实数解的 充分不必要 条件． (选填“充要”， “充分不必要”，“必要不充分”中的一个) 41．双曲线以F1(?3,0),F2(3,0)为焦点，且虚轴长为实轴长的 ?m?2?m?3 （1）P真Q假：?m?1或m?3?或（2）Q真P假：?2倍，则该双曲线的标准方程是 3 ?m?2???m?2 ???m?3综合（1）（2）故m的取值范围是{m|1?m?2或m?3} 45. 已知不等式x?2x?3?0的解集为A，不等式 2所以b2?a1?a2?a3?2?4,b?,8??8q??24, 即 q=3 所 以 x2?x?6?0的解集为B。 （1）求A∩B； （2）若不等式x?ax?b?0的解集为A∩B，求不等式ax?x?b?0的解集。 解：（1）由x?2x?3?所以A=（-1，0得?1?x?3， 3） 2222{bn}的前 n项和公式为 b1(?1qn)Sn??4?(n1 1?q3)（2）由不等式x?ax?b?0的解集为（-1，2）， 所 以 48. 已知函数f(x)??x3?3x2?9x?d。 由x?x?6?0得?3?x?2，所以B=（-3，2）， [来源:Z#xx#k.Com] （1）求f(x)的单调区间；（2）如果f(x)在区间[?2,2]∴A∩B=（-1，2） 上的最小值为?4，求实数d以及在该区间上的最大 2?1?a?b?0??4?2a?b?0，解得 ?a??1 ?解：（1） b??2?值． f'(x)??3x2?6x?9令 [来源:学*科*网Z*X*X*K] ∴?x?x?2?0，解得解集为R. 46.已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列. an（Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2}的前n项和Sn. 解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得 2f'(x)?0即?3x2?6x?9?0解得x?3或x??1 再令f(x)?0即?3x?6x?9?0 解得?1?x?3所以该函数的单调递减区间为 '2(??,?1)、(3,??)；单调递增区间为(?1,3) （2）令f(x)?0，得到x??1或x?3（舍） 由（1）知道该函数在[?2,?1]上递减，在[?1,2]上递增， 那么，最小值为f(?1)?d?5??4，所以 '1?2d1?8d＝， 11?2d解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）31＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知22 3 n am=2，由等比数列前n项和公式得 nnSn=2+2+2+?+2= 2(1?2)n+1 =2-2 1?2d?1. f(-2)=8+12-18+1=3值为23. 而 f(2)=-8+12+18+1=2347.已知|an|为等差数列，且a3??6，a6?0。 （Ⅰ）求|an|的通项公式；（Ⅱ）若等比数列|bn|满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求|bn|的前n项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。 ,所以函数f(x)的最大 49．某厂生产甲、乙两种产品，生产每吨甲、乙产品 所需煤、电力和所获利润如下表所示： 消耗量 利润电力资源 煤（t） （万（kW） 产品 元） 甲产品 乙产品 9 4 4 5 12 6 ?a1?2d??6 因为a3??6,a6?0,所以?,解得 a?5d?0?1a1??10,d?2,所以an??10?(n?1)?2?2n?12 （Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q,因为 4 在生产这两种产品中，要求用煤量不超过350t，电力不超过220kW.问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？（12分） [解析]：设每天生产甲、乙两钟产品分别为xt、yt， 利润总额为z万元.那么： AB中点坐标为M(x0,y0) ?y2?9x?4y?350,2 ???x?12 由 得6x?4x?1?0 24x?5y?220,?? ?y?x?0, z= 12x?6y? ?2x?1y?0?作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域 x1?x2421 ∴， x?x????x???120z?12x?6y，作出以上不等式组所表示的平面 6323区域，即可行域（如右图）. 作直线l:2x?y?0，y1?y21 y??x?x?1?012把直线l向右上方平移至l?位置时，直线经过可行域上点M，现与原点距离最大，此时z=12x?6y取 最大值. 解方程组?23∴AB中点坐标为M(??9x?4y?350 得M（30，20） ?4x?5y?22011,) . 33答：生产甲产品30t，乙产品20t，能使利润总额达到最大. 50． △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b2cosA－c2cosA＝a2cosC. (1)求角A的大小； (2)若a＝7，b＋c＝4，求△ABC的面积． 解：(1)从已知条件： 2cosAsinB＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB. 1 ∵sinB≠0，∴cosA＝.故角A大小为60°； 2 (2)由余弦定理： 22222 7＝a＝b＋c－2bc2cos60°＝b＋c－bc＝(b2 ＋c)－3bc, 由b＋c＝4得bc＝3. 13 3 故△ABC面积为S＝bcsinA＝. 24 51.设椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 52．已知椭圆的两焦点是F1(0，-1)，F2(0,1)，离心率1e= 2(1)求椭圆方程；(2)若P在椭圆上，且|PF1|-|PF2|=1，求cos∠F1PF2。 c1解析:(1)c=1 ? a?2 b?3 椭圆方程为 a2y2x2??1 43 (2) ?|PF2|???|PF2|?|PF1|?1? ???|PF|?|PF|?421??|PF|?1??52 3253()2?()2?2232cos?F1PF2?2? 5352??2253．已知命题p：c2 2，其一个顶点的坐标是(1,0). 2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若斜率为2的直线l过椭圆C在y轴正半轴上的焦点，且与该椭圆交于A、B两点，求AB的中点坐标. ?x?R，x2?4cx?1?0且p?q为真，p?q为 假，求实数c的取值范围。 解析：由不等式c 2y2x2解析：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为2?2?1，其 abc22焦点为(0,?c),由已知得 b?1，?， a22222 又a?b?c ∴ a?2，c?1 y2?x2?1 ∴ 椭圆C的标准方程为2（Ⅱ）直线l的方程为 y?1?2(x?0)， 即y?2x?1 设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)， 5 11?c?，得命题q：221111??c?故?q：c??或c?， 22 22由题知：p和q必有一个为真一个为假。 1当p真q假时：?c?1当q真p假时： 2 11??c?0故c的取值范围是： ??c?0或22,1?c?1。 2?0又由(4c)?4，得?2