人教版高中数学选修2-1知识讲解,巩固练习:专题3.1.1、3.1.2 空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算

知识

1.空间向量的定义

在空间中,我们把具有_____和_____的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.

2.空间向量的表示方法

(1)几何表示:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的_____.

(2)符号表示:空间向量可用一个字母表示,如向量a,也可用有向线段的起点、终点的字母表示,如图所示,可用表示向量a的有向线段的起点A和终点B表示为AB,向量的模记为|a| 或|AB|.

3.几个特殊的空间向量

零向量 单位向量 相反向量 相等向量 长度为0的向量叫做零向量,记为0 模为1的向量称为单位向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为?a 方向相同且_____的向量称为相等向量 4.空间向量的加法和减法运算

b,已知空间向量a,可以把它们平移到同一个平面?内,以任意点O为起点,作向量OA?a,OB?b,如图1所示.

类似于平面向量,可以定义空间向量的加法和减法运算(如图2所示):

OB?OA?AB?______,CA?OA?OC?______.

图1 图2

5.空间向量的加法运算律

(1)交换律:a?b?______; (2)结合律:(a?b)?c?a?(b?c). 用图1、图2来验证空间向量的加法运算律如下:

图1 图2

以上运算律对于多个空间向量的加法也是成立的.

6.空间向量的数乘运算

(1)定义:与平面向量一样,实数?与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量,称为向量的数乘运算. (2)向量?a与a的关系:如图,当??0时,?a与向量a的______;当??0时,?a与向量a的______.?a的长度是向量a的长度的?倍.

(3)空间向量的数乘运算律:①分配律:?(a?b)??a+?b;②结合律:?(?a)?(??)a.

7.共线向量

(1)定义

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_______,则这些向量叫做共线向量或平行向量. (2)向量共线的充要条件(即共线向量定理)

对于空间任意两个向量a,b(b?0),a∥b的充要条件是存在实数?,使_______. (3)共线向量定理的推论

如图所示,l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP?OA?ta ①,其中向量a叫做直线l的方向向量. 若在l上取AB?a,则①式可以化为OP?OA?tAB?(1?t)OA?tOB ②.

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.

注:共线向量定理及其推论可用来证明直线平行和空间三点共线.

8.共面向量

(1)定义

平行于_______的向量,叫做共面向量.

(2)三个向量共面的充要条件(即共面向量定理)

如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p?_______.

(3)共面向量定理的推论

如图,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使AP?xAB?yAC;或对空

间任意一点O,有OP?OA?xAB?yAC ③.③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

三点共线的充要条件

由共线向量定理的推论,我们可以得到空间三点共线的充要条件为OP??OA??OB,且???=1.此结论经常使用.

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