第三章环论复习题
一、填空题
1.Z17是模17的剩余类环，在一元多项式环Z17[x]中，([6]x?[8])17? 。 2.在特征为p的交换环R中，(a?b)= 。
3.假定R是有单位元的交换环，I是R的一个理想，则RI是域的充要条件是： 。
4.若I是有单位元的环R的由元a生成的主理想，那么I中的元素可以表示 为 。
5.假定F是一个四元域，则F的特征是 。 6.假定I?R是环R的理想且?是R到RKer?? 。
I的同态映射，则该同态满射的核
p7.模6的剩余类环Z6的所有零因子是 。
8.Z13是模13的剩余类环，在一元多项式环Z13[x]中， ([3]x?[6])13? 。9.在模6的剩余类环Z6中，方程x2?[1]的所有根是 。 二、判断题
1.（ ）由素数p所生成的主理想(p)一定是最大理想。
2.（ ）有单位元1的交换环R是整环当且仅当在R中消去律成立。 3.（ ）域、除环既含有零元又含有零因子。 4.（ ）无零因子环的同态象无零因子。 5.（ ）模29的剩余类环Z29无零因子。 6.（ ）设F是域，则F的每个元都有逆。 7.（ ）域有且仅有两个理想。 8.（ ）模99的剩余类环Z99是域。 9.（ ）域只有零理想和单位理想。
三、计算题
1.求模18的剩余类环Z18的所有可逆元和零因子；
2.假定R是模8的剩余类环，在R?x?里计算f(x)?g(x)与f(x)g(x)并求出它们的次数，其中f(x)??3?x3??5?x??4?，g(x)??4?x2?x??3?
3.求模6的剩余类环Z6所有理想。
四、证明题
1.设R1,R2都是环，f是环R1到R2的同态满射，B是R2的理想， 证明：A?{a|a?R1,f(a)?B}是R1的理想。
2.一个具有素数个元素的环是交换环。
3.设R是交换环，?是环R的理想，令??r??R|?n?N,使得rn???。
证明：?是环R的理想。。
??a0????a0??4.设R???，a,c,d?QI?a,c?Q????，证明：R关于矩阵的加法与????cd????c0??乘法构成环且I是环R的极大理想。
5.假定R和R是两个环，并且R与R同态，那么这个同态满射的核I是
R的一个理想并且RI?R。