第四章 日常生活中的数学模型
§ 4.2 铅球投掷的模型 一. 背景、问题： 投掷圆直径=2.135m，有效扇形 450，坻趾板 10×10cm，铅球重 16磅=7.264kg。运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅球落入有效区内。以铅球落地点与投掷圆间的距离测量铅球投掷的远度。以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。 问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？ 二. 模型与分析： 1. 抛射体模型：
假设：1. 铅球是个质点。2. 忽略空气阻力。 3. 出手角度与出手速度无关。
变量、参量：出手角度 a，出手高度 h，出手速度 v=(v cos a, v sin a)，投掷远度 s。 先分析铅球出手后的运动过程；在x-y坐标系中铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ). 由力与运动平衡关系（牛顿定律）得：
d2x?0,x(0)?0,x?(0)?vcos?2dt 有解: d2y??g,dt2y(0)?h,y?(0)?vsin?x(t)?(vcos?)ty(t)?(vsin?)t?12gt?h2?gx2y(x)?2?(tan?)x?h2vcos2?
铅球落地点为 (s, 0) 解得 模型I : s=s(v, h, ?).
v2sin2?v2sin2?2v2cos2?s??()?2h2g2gg
检验:
姓 名 v (m/s) h(m) a(0) s(m) 实测 李梅素 13.75 1.90 37.60 20.68 20.95 李梅素 13.52 2.00 38.96 20.22 20.30 斯卢皮 13.77 2.06 40.00 21.25 21.41 基本吻合
分析:
1. 最佳出手角度: 显然函数 s(v, h, a)是变量v和h的单调增函数，关于变量a 的极大值点满足方程 ?s/?a=0，即：
cos2?v4sin22??8hgv2cos2??v2sin2?cos2??2ghsin2??0
化简可得:
cos2??gg?v2/h
因此，0?a??/4, 给定出手高度 h, 最佳出手角度a 随出手速度 v 增大而增大。 给定出手速度 v，最佳出手角度a随出手高度 h 增大而减小。
2. 最佳投掷模式: 给定出手高度h、出手速度v 从而可以计算最佳出手角度aopt= a(v, h) 和相应的投掷距离 s=s (h, v, ?opt). 这样构成最佳的铅球投掷模式。 h\\v 10 11 12 13 14 14.5 15 1.9 40.48 41.16 41.71 42.15 42.51 42.76 42.80 11.95 14.11 16.48 19.05 21.81 23.27 24.78 2.0 40.28 40.99 41.55 42.01 42.39 42.55 42.70 12.03 14.20 16.57 19.14 21.90 23.36 24.87 2.1 40.08 40.82 41.40 41.88 42.27 42.44 42.59 12.12 14.29 16.65 19.29 22.00 23.46 24.97
3. 主要因素分析—模型的参数灵敏度分析
问题： h, v, ? 这三个因素中哪个最重要，即哪个参数变化 对投掷距离s 影响最大？ 归结为参数的灵敏度分析。这里采用模型对参数的极差分析方法：比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差?s=smax-smin 。 当h=1.9m时,
V\\ ? 37 38 39 40 41 42 43 ?s 10 11.89 11.92 11.94 11.95 11.95 11.94 11.92 0.06 11 14.01 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 0.11 12 16.31 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 0.17 13 18.80 18.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 0.25 14 21.48 21.59 21.68 21.75 21.79 21.81 21.82 0.34 15 24.36 24.49 24.60 24.68 24.74 24.78 24.78 0.42 ?s 12.47 12.57 12.66 12.73 12.79 12.84 12.86 出手速度改变引起投掷距离变化的极差：12.47~12.89m 出手角度改变引起投掷距离变化的极差：0.05~0.42m 出手高度改变引起投掷距离变化的极差：0.16~0.22m
结论：
1. 出手速度最重要。
2. 出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要的。但在最佳出手角度上下 20 范围内远度的变化很小。不必过分准确。
3. 在前面的基础上，尽量提高出手的高度。
2. 铅球投掷模型 问题：
1. 李梅素的数据
h=1.9m，a=37.60，v=13.75m/s，s=20.95m
最佳值 a=42.430 理论值 s=20.68m h=2.0m，a=39.70，v=13.52m/s， s=20.30m 最佳值 a=42.370 理论值 s=20.22
出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度，但投掷的远度减小了。 出手的速度随着出手角度的增加减小了！ 女子铅球的技术特征:
滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离出手点；最后用力阶段突出向前性。
2. 铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、出手角度和出手高度是不独立的, 是运动员投掷铅球过程中用力过程的一个综合的结果。 需要组建铅球投掷的模型。 假设：
1. 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平的初速度。 2. 在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间。
3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的方向与铅球出手方向相同。 参量、变量: 同上， v0 初速度, t0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。 发力期间平衡关系： 设t=0时开始用力，t=t0 时铅球出手。则有，
mx??(t)?Fcos?,my??(t)?Fsin??mgx?(0)?v0,y?(0)?0.由此得到铅球的出手时的速度。
x?(t0)?Ft0cos??v0,mFy?(t0)?t0sin??gt0mx?(t0)2?y?(t0)2?(FFt0cos??v0)2?(t0sin??gt0)2mmv?v(t0)??F22F2F22(2?g2?gsin?)t0?v0?t0v0cos?mmm 显然v 随着 F , v0和 t0 的增加而增大. 但是， ? v?a= - F t0 (g t0 cos a + v0 sin a )/(mv) <0, 所以随着a的增大，v=v( a )减小。 模型II s=s(h, ?):=s(v(?) , h, ?)
由 ?s/? ?=0 可以求得比模型I更合理的 最佳投掷角度， 它比模型I 得到的最佳角度小些。 检验: 从以下我国三位铅球运动员的成绩可见，出手角度从40.27降到35.13，出手速度从13.16m/s提高到14.08m/s，成绩从 19.4m 提高到 21.76m。这样进一步验证了模型II的可靠性。 a v h s 李梅素 40.27 13.16 2.20 19.40 隋新梅 39.00 13.95 2.04 21.66 李梅素 38.69 13.51 2.00 20.30 黄志红 37.75 13.58 2.02 20.76 李梅素 37.60 13.75 1.90 20.95 李梅素 35.13 14.08 1.95 21.76
问题：组建完整的铅球投掷的数学模型（包括出手速度、出手高度的形成），并进行分析讨论。 2. 赛跑速度的模型
Keller J.B. Optimal velocity in race, the American mathematical monthly 1974 Vol.81 P474 W.G. Pritchard, Mathematical models of running, SIAM Review 1993 Vol.35, No.3 P359 问题：为获得最好成绩，参加赛跑的运动员如何安排赛程中各阶段的速度。
背景分析：运动员在赛跑过程中要克服体内外的阻力，发挥向前的冲力。产生冲力的能量来源一是储存在体内的能量；二是呼吸系统通过氧的新陈代谢作用产生的能量。需要考虑：比赛成绩与速度的关系；速度与冲力的关系（力学）；冲力与能量的关系（生理）。 假设：
1 赛跑时运动员体内外的阻力与速度成正比（比例系数1/? ），最大冲力为F, 初速度为零。 2 呼吸系统在氧的代谢作用下单位时间提供的能量是常数?， 初始时刻运动员体内储存的能量为E0.
3. 对运动员体重的单位质量建模，m=1.