2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二(下)期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求.)
1.已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3),B(2,﹣1),则m的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.对抛物线y=x2
,下列描述正确的是( )
A. 开口向上,焦点为(0,1) B. 开口向右,焦点为(1,0) C. 开口向上,焦点为(0,
) D. 开口向右,焦点为(
,0)
3.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该四棱锥的体积是 ( )
A.
B.
C.
D.
4.球的体积与其表面积的数值相等,则球的表面积等于( ) A. π B. 4π C. 16π D. 36π
5.直线l1:ax+2y+3=0与l2:x﹣(a﹣1)y+a2
﹣1=0,则“a=2”是“直线l1与l2垂直”的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A. α∥β,m?α,n?β?m∥n B. α⊥β,n∥α,m⊥β?n⊥m C. m∥n,m∥α?n∥α D. m∥n,m⊥α?n⊥α
) ) 7.实数x,y满足x+y﹣2x﹣2y+1=0,则 A.
B.
C. D.
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的最小值为( )
8.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=2,E,F分别是A1B1和B1C1的中点,则异面直线AE与BF所成的角.( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
9.有下列四个命题:
①“平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长,则动点的轨迹为椭圆”; ②“若q≤1,则方程x+2x+q=0有实根”的否命题;
2
③“若m>1,则mx﹣2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题. ④“若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线”的逆否命题. 其中真命题的序号有( )
A. ②③ B. ①③④ C. ①③ D. ①④
10.分别过椭圆
+
=1的左、右焦点F1、F2所作的两条互相垂直的直线l1、l2的交点在
2
此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是( ) A. (0,1) B. (0,
) C. (
,1) D. [0,
]
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)
2
11.命题“?x0∈R,使得x0+2x0+5>0”的否定是 . 12.双曲线
的渐近线方程为 .
13.不论m为何实数,直线mx﹣y+3=0恒过定点 (填点的坐标)
14.已知直线l∥平面α,直线m?α,则直线l和m的位置关系是 .(平行、相交、异面三种位置关系中选)
15.已知动圆M与圆C1:(x+5)+y=16外切,与圆C2:(x﹣5)+y=16内切,则动圆圆心的轨迹方程为 .
16.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,现将△ABD沿BD翻折至△A′BD,使二面角A′﹣BD﹣C的大小为60°,求CD和平面A′BD所成角的余弦值是 .
2
2
2
2
17.设双曲线
(a>b>0)的右焦点为F,左右顶点分别为A1,A2,过F且
与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P,若P恰好在以A1A2为直径的圆上,则双曲线的离心率为 .
三.解答题:(本大题共4题,第1、2、3题每题10分,第4题12分,共42分.)
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18.(10分)(2015春?南昌校级期末)命题p:实数x满足x﹣4ax+3a<0(其中a>0),命题q:2<x≤3
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 19.(10分)(2015春?杭州期中)已知圆C的圆心在坐标原点,且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8
(Ⅰ)试求圆C的方程;
(Ⅱ)当P在圆C上运动时,点D是P在x轴上的投影,M为线段PD上一点,且|MD|=|PD|.求点M的轨迹方程. 20.(10分)(2015春?杭州期中)如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,且直线PA⊥平面ABCD,又棱PA=AB=2,E为CD的中点,∠ABC=60°. (Ⅰ) 求证:直线EA⊥平面PAB;
(Ⅱ) 求直线AE与平面PCD所成角的正切值.
21.(12分)(2015春?杭州期中)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,且过点(2,1).
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)直线l:y=kx+t,与圆x+(y+1)=1相切且与抛物线交于不同的两点M,N,当∠MON为直角时,求△OMN的面积.
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2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二(下)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求.)
1.已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3),B(2,﹣1),则m的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆.
分析: 由题意可得2m=2,解出即可.
解答: 解:∵倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3),B(2,﹣1), ∴2m=2, 解得m=1. 故选:B.
点评: 本题考查了倾斜角的应用,考查了推理能力,属于基础题.
2.对抛物线y=x,下列描述正确的是( )
A. 开口向上,焦点为(0,1) B. 开口向右,焦点为(1,0) C. 开口向上,焦点为(0,
) D. 开口向右,焦点为(
,0)
2
考点: 抛物线的简单性质.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 将抛物线方程化为标准方程,再由抛物线的性质,即可得到开口方向和焦点坐标.
解答: 解:抛物线y=x,即为抛物线x=4y, 由抛物线的性质可得该抛物线开口向上,
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焦点为(0,1). 故选A.
点评: 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的焦点,属于基础题.
3.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该四棱锥的体积是 ( )
A.
B.
C.
D.
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为正方形的三棱锥,求出它的体积即可. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是如图所示的四棱锥,
且该四棱锥的底面是边长为2cm的正方形ABCD, 高为cm;
所以,该四棱锥的体积为
V=×2×故选:A.
2
=cm.
3
点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题,是基础题目.
4.球的体积与其表面积的数值相等,则球的表面积等于( ) A. π B. 4π C. 16π D. 36π