完全平方数
什么是完全平方数？
相等两个整数的乘积是完全平方数，常见的完全平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441……
例1.从1~10中最多可以选出 个数，使得选出的数中，任何两个数的和不是完全平方数.
[答疑编号0518320101]
【答案】6 【解答】
选出2，3，4，8，9，10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。
如果选出了七个数，将1~10分为6组，（10，6），（9，7），（8，1），（5，4），（2），（3），则必有一组中的两个数都被选出来了，那么它们的和是完全平方数。 所求的最大值是6。
完全平方数质因数分解的特征：
将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。 推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。
例2.从1到2012的所有自然数中，有 个数乘以72后是完全平方数.
1
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[答疑编号0518320102]
【答案】31 【解答】因为
，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数
，所以
本身应该是某个完全平方数的2倍.因为从1到2012中，符合要求的数有31个.
例3.素数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，则B的平方的4倍有 个约数.
[答疑编号0518320103]
【答案】9
【解答】如果A不是2，则A平方的2倍有3×2＝6个约数，故A＝2.所以B就不能是2，它平方的4倍有3×3＝9个约数.本题答案为9.
涉及到完全平方的公式：
例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为 .
[答疑编号0518320104]
【答案】156
【解答】设加上100后为，加上168后为，那么
2
，
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即
，
解得
例5.一个正整数，如果能表示成两个完全平方数的差，就称它是一个“智慧数”，那么在1~2012中，有多少个“智慧数”？
[答疑编号0518320105]
.因此原正整数是
.
.因为b＋a和b－a的奇偶性相同，所以只可能是
【答案】1509
【解答】设这个正整数是n,。两个完全平方数分别是a2和b.2。 .则n＝ a2－b2＝（b－a）（b＋a）。
（1）如果b－a和b＋a都是奇数，则n是奇数。 （2）如果b－a和b＋a都是偶数，则n是4的倍数。 下面，我们说明如下情况：
（1）被4除余2的数，不是 “智慧数”。
（2）奇数都是 “智慧数”。因为n＝2k＋1＝（k＋1）2－k2 （3）4的倍数都是“智慧数”。因为n＝4k＝（k＋1）2－（k－1）2 所以，总共有2012÷4×3=1509个“智慧数”。
例6.证明：形如11，111，1111，11111，……的数中没有完全平方数。
[答疑编号0518320106]
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