完全平方数

完全平方数

什么是完全平方数?

相等两个整数的乘积是完全平方数,常见的完全平方数有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441……

例1.从1~10中最多可以选出 个数,使得选出的数中,任何两个数的和不是完全平方数.

[答疑编号0518320101]

【答案】6 【解答】

选出2,3,4,8,9,10这六个数,可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。

如果选出了七个数,将1~10分为6组,(10,6),(9,7),(8,1),(5,4),(2),(3),则必有一组中的两个数都被选出来了,那么它们的和是完全平方数。 所求的最大值是6。

完全平方数质因数分解的特征:

将一个完全平方数质因数分解后,每个质因数的次数都是偶数。 推论:只有完全平方数恰有奇数个约数。

例2.从1到2012的所有自然数中,有 个数乘以72后是完全平方数.

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[答疑编号0518320102]

【答案】31 【解答】因为

,所以要想乘以72以后是完全平方数,这个数

,所以

本身应该是某个完全平方数的2倍.因为从1到2012中,符合要求的数有31个.

例3.素数A、B互不相等,已知A的平方的2倍有4个约数,则B的平方的4倍有 个约数.

[答疑编号0518320103]

【答案】9

【解答】如果A不是2,则A平方的2倍有3×2=6个约数,故A=2.所以B就不能是2,它平方的4倍有3×3=9个约数.本题答案为9.

涉及到完全平方的公式:

例4. 一个正整数,加上100后的结果是一个完全平方数,加上168后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为 .

[答疑编号0518320104]

【答案】156

【解答】设加上100后为,加上168后为,那么

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解得

例5.一个正整数,如果能表示成两个完全平方数的差,就称它是一个“智慧数”,那么在1~2012中,有多少个“智慧数”?

[答疑编号0518320105]

.因此原正整数是

.

.因为b+a和b-a的奇偶性相同,所以只可能是

【答案】1509

【解答】设这个正整数是n,。两个完全平方数分别是a2和b.2。 .则n= a2-b2=(b-a)(b+a)。

(1)如果b-a和b+a都是奇数,则n是奇数。 (2)如果b-a和b+a都是偶数,则n是4的倍数。 下面,我们说明如下情况:

(1)被4除余2的数,不是 “智慧数”。

(2)奇数都是 “智慧数”。因为n=2k+1=(k+1)2-k2 (3)4的倍数都是“智慧数”。因为n=4k=(k+1)2-(k-1)2 所以,总共有2012÷4×3=1509个“智慧数”。

例6.证明:形如11,111,1111,11111,……的数中没有完全平方数。

[答疑编号0518320106]

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