2018-2019学年清华大学自主招生考试
数学试题
解答题（本大题共100分）温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
1．（本题10分）求最小正整数n，使得I?(?
2．（本题10分）已知a、b为非负数，M?a4?b4,a?b?1，求M的最值．
12123i)n为纯虚数，并求出I．
sin?、cos?为等差数列，sin?、3．（本题10分）已知sin?、sin?、cos?为等比数列，求1cos2??cos2?的值．
2
4．（本题10分）求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．
5．（本题15分）随机取多少个整数，才能有0．9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．
6．（本题15分）y?x2上一点P（非原点），在P处引切线交x、y轴于Q、R，求
7．（本题15分）已知f(x)满足：对实数a、b有f(a?b)?af(b)?bf(a)，且f(x)?1，求证:f(x)恒为零．
（可用以下结论：若limg(x)?0,f(x)?M，M为一常数，那么lim(f(x)?g(x))?0）
x??x??PQPR．
8． （本题15分）已知A、B、C为?ABC的三个内角，它们所对的边分别a、b、c，求证:
cosB?cosC?2aA?4sin．（在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和b?c2
BD的最大值，并证明?）