第4讲 解三角形
1.(2018江苏南通调研)在△ABC中,已知AB=1,AC= ,∠B=45°,则BC的长为 . 2.(2018江苏扬州调研)在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,则cosC的值为 . 3.(2018江苏三校联考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.已知a+ c=2b,sinB= sinC,则cosC= .
4.(2018江苏南京、盐城模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若bsinAsinB+acosB=2c,则的 值为 .
5.(2018江苏南京模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c= ,则∠C的值为 .
6.(2018苏锡常镇四市调研)设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosB-bcosA=5c,则
n n
2
= .
7.(2018南京师大附中模拟)在△ABC中,已知 · +2 · =3 · , 则cosC的最小值是 . 8.(2018江苏南通中学模拟)在△ABC中,BC边上的中线长等于BC长的2倍,则为 .
9.(2018苏锡常镇四市调研)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,且4S= (a+c-b). (1)求∠B的大小;
(2)设向量m=(sin2A,3cosA),n=(3,-2cosA),求m·n的取值范围.
10.(2018江苏南通中学模拟)在△ABC中,AB= ,BC=5,tan - =.
4 (1)求sinA的值; (2)求△ABC的面积.
1
2
2
2
sin sin sin 的最大值
11.(2018江苏扬州中学模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,2),n= s , s ,且m·n= . (1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=2 ,求sin - 的值.
4
答案精解精析
1.答案
6
2
2
解析 由余弦定理可得2=BC+1- BC,即BC- BC-1=0,解得BC=2.答案
6(舍负).
解析 sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,由正弦定理可得 ∶b∶ =4∶5∶6,不妨设a=4,b=5,c=6,则由余弦定理可得cosC=3.答案 4
- = 6 5- 6
4
= . 解析 sinB= sinC,由正弦定理得b= c,则a= c.由余弦定理可得cosC=4.答案 2
解析 由正弦定理及题意得 sinAsinB+sinAcosB=2sinC, 即sinA=2sinC,则==2.
sin
sin 2
2
- =4.
2
5.答案
6
解析 在△ABC中,sinB=sin(A+C),
则sinAcosC+sinCcosA+sinAsinC-sinAcosC=0,
即sinCcosA+sinAsinC=0.又sinC≠ ,则cosA+sinA=0,即tanA=-1.又A∈( ,π),则A=
sin sin 4
.由正弦定理得
=
,即 =
,则sin sinC=.又C∈ , ,则C=.
46
6.答案 4
解析 由正弦定理可将条件acosB-bcosA=c变形为sinAcosB-sinBcosA=sinC,则
5
5
sinAcosB-sinBcosA=5sin(A+B)=5(sinAcosB+cosAsinB),化简得sinAcosB=4sinBcosA,所以tanA=4tanB,即
n n
=4.
7.答案
解析 设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c, · +2 · =3 · , 即b sA+ sB= b sC,b ·
- + · - = b· - ,化简得a+2b=3c,则cosC=
222
- =
6 ≥
=,6
当且仅当 a=b时取等号,故最小值是. 8.答案
5
解析 设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,取BC的中点为D,连接AD,则AD=2a.又∠ADB+∠ADC=π,∴ s∠ADB+ s∠ADC= .由余弦定理可得
sin sin sin sin sin sin
- 6
( - ( -
+
=0,化简得b+c= a.又
22
2
== s≤tanA= tanA,当且仅当b=c时取等号,此时AD⊥BC, n = =4,则sin sin A s 4
- n
tanA=
n
=
= 5,所以
sin sin
≤ × 5= 5,故sin
2
2
sin sin 的最大值为 5. sin 2
9.解析 (1)由题意得4× acsinB= (a+c-b), 则sinB=
- (
, 所以sinB= cosB. 因为sinB≠ ,所以 sB≠ , 所以tanB= . 又0 3