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圆锥曲线与方程
考纲导读 1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程． 2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用． 高考导航 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点： 1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容： ①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解． ②圆锥曲线的几何性质的应用． 2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法． 3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现． 4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势． 第1课时 椭圆 基础过关 1页
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1．椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ． ②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在． (2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e，且e? 的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 ． 2．椭圆的标准方程 (1) 焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：( > >0，且a2? ) (2) 焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是足： ． （3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对
x2a2?y2b2?1,a > b >0
y2a2?x2b2?1，其中x2a2?y2b2?1，其中
a，b满
进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ． (4) 离心率：e? ( 与 的比)，e? ，e越接近1，椭圆越 ；e越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 焦半径公式：设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，P(x0,y0)是椭圆上一点，则
PF1? ，PF2?2a?PF1= 。
4．焦点三角形应注意以下关系补充画出图形）： (1) 定义：r1＋r2＝2a 2页
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(2) 余弦定理：r12＋r22－2r1r2cos?＝(2c) (3) 面积：S?PF1F2＝1r1r2 sin?＝1·2c| y0 |(其中P(x0,y0)为椭圆上一点，|PF1|
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＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝?) 典型例题 x2y2变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆2?2?1（a＞b＞0）上的任意一点，F1、
abF2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r. ∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r ∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知 |OA|=
11|PF1|??2(a?r)?a?r. 22故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切. 评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。
变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； .
例4. 已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为6，两条准线间的3距离为6. 椭圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C. （1）求椭圆W的方程； ． 小结归纳 3页