第1讲 等差数列与等比数列
一、选择题
?1?
1．(2019·福州市质量检测)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列??为等差数列，则
?an?
a9＝( )
1
A． 24C． 5
?an?
5B． 44D．－
5
?1?
解析：选C．因为数列??为等差数列，a3＝2，a7＝1，
11－
?1?a7a32111154
所以数列??的公差d＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以a9＝，故选7－37－38a9a7845?an?
－C．
2．(一题多解)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S3＝－6，则S5＝( ) A．18 C．－14
B．10 D．－22
11
??a1＋a1q＝2
解析：选D．法一：设等比数列{an}的公比为q，由题意，得?，解得2
?a1＋a1q＋a1q＝－6?
5
??a1＝－2－2×[1－(－2)]?，所以S5＝＝－22，故选D．
1－(－2)?q＝－2?
??S2＝Aq－A＝2
?法二：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，令A＝，则Sn＝Aq－A，，3
q－1?S3＝Aq－A＝－6?
a1
2
n - 1 -
2??A＝22n5
解得?3，所以Sn＝[(－2)－1]，所以S5＝×[(－2)－1]＝－22，故选D．
33
??q＝－2
3．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－33，b1＋b6＋b11
b3＋b9
＝7π，则tan 的值是 ( )
1－a4·a8
A．－3 C．－
3 3
B．－1 D．3
7πb3＋b933
解析：选A．依题意得，a6＝(－3)，3b6＝7π，所以a6＝－3，b6＝，所以31－a4·a8
＝
π?2b67πb3＋b9π?7π??，故tan＝tan?－?＝tan?－2π－?＝－tan＝－3，故选A． 2＝－3?1－a631－a4·a83?3??4．(一题多解)(2019·合肥市第一次质量检测)已知正项等差数列{an}的前n项和为
Sn(n∈N*)，a5＋a7－a26＝0，则S11的值为( )
A．11 C．20
B．12 D．22
2
解析：选D．通解：设等差数列{an}的公差为d(d>0)，则由(a1＋4d)＋(a1＋6d)－(a1＋5d)
＝0，得(a1＋5d)(a1＋5d－2)＝0，所以a1＋5d＝0或a1＋5d＝2，又a1>0，所以a1＋5d>0，则
a1＋5d＝2，则S11＝11a1＋
11×10
d＝11(a1＋5d)＝11×2＝22，故选D． 2
2
优解：因为{an}为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a5＋a7－a6＝0，得2a6
11(a1＋a11)11×2a62
－a6＝0，a6＝2，则S11＝＝＝11a6＝22，故选D．
22
5．(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足
bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12，则a4＝( )
A．4 C．108
B．32 D．256
解析：选D．设等比数列{an}的公比为q，由题意知q>0，又首项a1＝4，所以数列{an}的通项公式为an＝4·qn－1
，又bn＝log2an，所以bn＝log2(4·qn－1
)＝2＋(n－1)log2q，所以{bn}
为等差数列，则b1＋b2＋b3＝3b2＝12，所以b2＝4，由b2＝2＋(2－1)log2q＝4，解得q＝4，所以a4＝4×4
4－1
＝4＝256.故选D．
4
6．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为( ) A．6 C．8
B．7 D．9
解析：选C．由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－
- 2 -
a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－
值，故选C．
二、填空题
15ddd，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小222
7．(2019·贵阳市第一学期监测)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝7.当n∈N时，an＋2是乘积
*
an·an＋1的个位数，则a2 019＝________．
解析：a1＝3，a2＝7，a1a2＝21，a3＝1，a2a3＝7，a4＝7，a3a4＝7，a5＝7，a4a5＝49，a6＝9，
a5a6＝63，a7＝3，a6a7＝27，a8＝7，a7a8＝21，a9＝1，a8a9＝7，所以数列{an}是周期为6的数
列，又2 019＝6×336＋3，所以a2 019＝a3＝1.
答案：1
8．在数列{an}中，n∈N，若是对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0；
②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________．
解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{an}是等比数列，且公比q＝1时，{an}不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．
答案：①④
xe－1?1?9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)＝x，g(x)＝f(x－1)＋1，an＝g??e＋1?n?
*
an＋2－an＋1
＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列
an＋1－an?2??3??2n－1?(n∈N*)，则数列{a}的通项公式为________． ＋g??＋g??＋…＋g?nnnn???
??
?
?
e－1e－11－e
解析：因为f(x)＝x，所以f(－x)＝－x＝x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函
e＋1e＋1e＋1数．因为g(x)＝f(x－1)＋1，所以g(x)的图象关于点(1，1)对称，若x1＋x2＝2，则有g(x1)
x－xx?1??2??3??2n－1?＝2(n－1)＋g(1)＝2n－2＋f(0)＋1
＋g(x2)＝2，所以an＝g??＋g??＋g??＋…＋g???n?
?n?
?n?
?n?
＝2n－1，即an＝2n－1，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
答案：an＝2n－1 三、解答题
10．(2019·昆明市诊断测试)已知数列{an}是等比数列，公比q<1，若a2＝2，a1＋a2＋a3
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