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动量矩定理例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为?。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则?NFOyOFOxm1gLO?J??m2vR?MO(F(e))?M?m2gsin?RvMd由LO??mO(Fi(e))，有dt?m2gd(J??m2vR)?M?m2gsin?Rdt 动量矩定理vdv因??,?a,于是解得RdtMR?m2gR2sin?a?J?m2R2若M＞m2gRsin ?，则a＞0，小车的加速度沿轨道向上。必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。 精品文档
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例4 水平杆AB长2a，可绕铅垂轴z 转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，这系统绕z 轴的角速度为??。如某时此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成??角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度??。解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即zAlCaa?0BlLz1?Lz2Lz1?2(ma?0)a?2ma?0Lz2?2m(a?lsin?)2?2ma2?0?2m(a?lsin?)2?a2???02(a?lsin?)显然，此时的角速度?＜?0。2DzAlCa?a??BlD 例8 卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为α，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程S 时的速度。
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其中I1?m1R12IC?12m2R22MOCm2gFSFNFOy于是v?1?CR1v?2?CR2FOxm1g2vCT2?(2m1?3m2)4由T2?T1??W12得?2vCs(2m1?3m2)?0?M?m2gsin??s4R1解之得vC?2(M?m2gR1sin?)sR1(2m1?3m2) 例14 如图，均质杆质量为m，长为l，可绕距端点l/3的转轴O转动，求杆由水平位置静止开始转动到任一位置时的角速度、角加速度以及轴承O的约束反力。解：本题已知主动力求运动和约束反力。解法1：用动能定理求运动以杆为研究对象。由于杆由水平位置静止开始运动，故开始的动能为零，即OC?mg?T1?0杆作定轴转动，转动到任一位置时的动能为T2?11?1ll?1JO?2??ml2?m(?)2??ml2?222?1223?18在此过程中所有的力所作的功为1?W12?mgh?mglsin?6
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由T2?T1??W12得1221ml??0?mglsin?1863g?2?sin?l??3gsin?lOC?mg?将前式两边对时间求导，得2?d?3gd??cos?dtldt??3gcos?2l
例17 均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。杆运动到任一位置(与水平方向夹角为??)时的角速度为??vC2vC?CPlcos?C此时杆的动能为T?121112mvC?JC?2?m(1?)vC2223cos2?T2?T1??W12vAPA?vC初动能为零，此过程只有重力作功，由?11l2m(1?)v?mg(1?sin?)C223cos?213g当?＝0°时解出vC?3gl??l2 精品文档
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杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示，由刚体平面运动微分方程，得aCAFACmg?mg?FA?maC(1)FAl1?JC??ml2?212(2)aAAnaCA杆作平面运动，以A为基点，则C点的加速度为tnaC?aA?aCA?aCACtaCAaC??沿铅垂方向投影，得ltaC?aCA??2联立求解方程(1)~(3)，得(3)1FA?mg4 例9 图示机构，已知曲柄OA的角速度为w，OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，角a = b = 60o，求滑块C的速度。
解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则
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