《概率论与数理统计》课程自学指导书要点

3 (1) (2) (3) (4)

0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0}; 求V=max(X,Y)的分布律; 求U=min(X,Y)的分布律; 求W=X+Y的分布律

第四章 随机变量的数字特征

一、内容概述 #

本章主要介绍数学期望、方差的概念,掌握它们的性质与计算。会求随机变量函数的数学期望。掌握两点分布、二项分布、均匀分布、正态分布的数学期望和方差。掌握协方差、相关系数、挈比雪夫不等式。了解矩、协方差矩阵的概念。

二、教学目的要求 #

(1)理解并掌握数学期望、方差的概念,掌握它们的性质与计算。 (2)理解并掌握随机变量函数的数学期望。

(3)理解掌握两点分布、二项分布、均匀分布、正态分布的数学期望和方差。。 (4)掌握协方差、相关系数、挈比雪夫不等式。 (5)了解矩、协方差矩阵的概念。 三、重、难点内容解析 # 1. 数学期望

要点:随机变量的数学期望的定义、性质,随机变量的函数的期望 2. 方差

要点:标准差、方差的性质 3. 协方差及相关系数

要点:协方差及相关系数的概念及性质,挈比雪夫不等式 4. 矩、协方差矩阵

要点:矩、协方差矩阵的概念及性质 六、复习思考与作业题 #

1. (P138T2)某产品的次品率为0.1,检验员每天检验次数4次。每次随机得取

10件产品进行检验,如发现其中的次品数多于1,就去调整设备。以X表示一天中调整设备的次数,试求E(X)。(设诸产品是否为次品是相互独立的.) 2. (P139T6)设随机变量X的分布律为

X -2 0.4 0 0.3 2 0.3 2pk 求E(X),E(X2。 ),E(3X?5)2??12y,0?y?x?1,3. (P139T9)设(X,Y)的概率密度为f(x,y)??

?.?0,   其他求E(X),E(Y),E(XY),E(4. (P140T13)设随机变量

X12?Y)。

22X,X的概率密度分别为

?2x?4x???2e,x?0?4e,x?0   (x)?? (1)求f1(x)??f2???0, x?0?0, x?0E(X1?(2)又设X1,求E(X1X2) X2),E(2X1?3X2);X2相互独立,

X

服从?分布,其概率密度为

25. (P141T18)设随机变量

1??1?x/??,x?0,xe?2f(x)????(?) 其中??0,??0是常数。

?0,     x ?0 ,?求E(X),D(X)。

6. (P141T22)5家商店联营,它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分

X,X,X,X,X12345已知

X1~N(2,20)20,54XX2~N(240,240),

X3~N(180,225),

X~N(260,265),

5,X1,~N(320,270)X2,X3,X4,X5相互独立。

(1) 求5家商店两周的总销售量的均值和方差;

(2) 商店每隔两周进货一次,为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于

0.99,问商店的仓库应至少储存多少公斤的该产品? 7. (P142T29)设X~N(?,),且设X,Y相互独立,试求

?2Z1??X??Y和

Z2。 ??X??Y的相关系数(其中?,?是不为0的常数)

8. (P142T32)已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差

是700。利用挈比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率p。

第五章 大数定律及中心极限定理

一、内容概述 #

本章主要介绍大数定律及中心极限定理。 二、教学目的要求 #

(1)掌握三个大数定律:依概率收敛,挈比雪夫大数定理,伯努利大数定理,辛钦大数定理。

(2)理解中心极限定理:独立同分布的中心极限定理,李雅普诺夫中心极限定理,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

三、重、难点内容解析 #

1. 大数定律 1.挈比雪夫大数定理

1nYn?n?Xnk?1独立、相同期望、方差的随机变量Xi的序列依概率收敛于?

2.伯努利大数定理

???nA?limP??p????1 n?????n?3.辛钦大数定理

?1n?limP??Xk??????1 n???nk?1?2. 中心极限定理

1. 独立同分布的中心极限定理

(独立同分布)随机变量

Xi的序列

Yn?2?Xk?1nn?n?的分布函数

?nFn(x)对于任

意x满足:

limn??Fn(x)??x??e2?i1?t2dt

2. 李雅普诺夫中心极限定理 (独立、不同分布)随机变量

X的序列

2Zn?k?1?X??k的分布函数

k?1Fn(x)对于任Bn?nnn意x满足:

limn??Fn(x)??x??e2?1?t2dt

3. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 (二项分布)随机变量

?en2~b(n,p)对于任意

x恒有

limn????x1??n?np?P??x?????np(1?p)2??????t2dt

四、复习思考与作业题

1. (P154T2)一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,他们相互独立,且服从同一分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05mm,规定总长度为(20?0.1)mm时产品合格,试求产品合格的概率。

2. (P155T4)设各零件的重量都是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其

数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少?

3. (P155T5)有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m。现从这批木柱中

随机得取出100根,问其中至少有30根短于3m的概率是多少?

4. (P155T6)一食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而售出一

只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1(元)、1.2(元)、1.5(元)各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。若售出300只蛋糕。(1)求收入至少400(元)的概率;(2)求售出价格为1.2(元)的蛋糕多于60只的概率。

5. (P155T8)随机地选取两组学生,每组80人,分别在两个实验室里测量某种化合

物的pH值。各人测量的结果是随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,其数

Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均;学期望为5,方差为0.3,以X,};(1)求P{4.9?X?5.1(2)求p{?0.1?X?Y?0.1}。

第六章 样本与抽样分析

一、内容概述 #

本章主要介绍了随机样本和抽样分析 二、教学目的要求 #

(1) 掌握随机样本、统计量的概念。 (2) 掌握样本均值、样本方差等概念,

函数图形轮廓。

三、重、难点内容解析 # 1. 总体

总体的概念 2. 简单随机样本 简单随机样本的概念 3. 统计量 统计量的概念

4. 几个重要的抽样分布

分布、t分布、F分布的定义及他们的密度函数 五、复习思考与作业题 #

1. (P175T3)求总体N(20,3)的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大于

0.3的概率。

?2分布、t分布、F分布的定义及他们的密度

?22. (P175T4)设

X,X12,?,X10为

N(0,0,3)2的一个样本,求

P{?Xi?1.44}i?1102。

3. (P175T5)已知X~t(n),求证4. (P175T6)设总体

X2~F(1,n)。

是来自X样本。(1)求

X~b(1,p),?,X1,X2,Xnn(

X,X12,?,Xn)的分布律;(2)求

2?Xi?1i的分布律;(3)求

E(X),D(X),E(S)2

中抽取一容量为16的样本。这里

225. (P175T9)设在总体

22N(?,?),其中

?,?2均为未知,(1)

P{S/??2.041}S为样本方差;(2)求

D(S)

第七章 参数估计

一、内容概述 #

本章主要在介绍 二、教学目的要求 #

(1) 矩估计量,最大似然估计量,估计量的评选标准。

(2) 参数?的臵信水平为(1-?)的臵信区间、单侧臵信上下限。 (3) 单个正态总体均值和方差的臵信区间、单侧臵信上下限。

(4) 两个正态总体均值和方差的臵信区间、单侧臵信上下限。

三、重、难点内容解析 # 1. 点估计

两种常用的构造估计量的方法――矩估计法和最大似然估计法 2. 基于截尾样本的最大似然估计

3. 估计量的评选标准 无偏性、有效性和结合性 4. 区间估计

臵信区间和臵信水平

5.正态总体均值与方差的区间估计

单个正态总体的区间估计和两个正态总体的区间估计 6. (0-1)分布参数的区间估计

7. 单侧臵信区间

单侧臵信区间、单侧臵信上限、单侧臵信下限 四、复习思考与作业题 # 1. (P208T4)(1)设总体X具有分布律 X 1 2 3 pk?22?(1??) (1??) 2 其中?(0???1)为未知参数。已知取得了样本值

试求?的矩估计值和最大似然估计值。

(2)设

x?1,x12?2,x3?1 。

X,X12,?,Xn是来自参数为?的泊松分布总体的一个样本,试

求?的最大似然估计量和矩估计量。

2. (P208T5)设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从双参数分布,其概率密度为

?1?(t?c)/??,t?c,f(t)???e??0,  其他。其中c,?(c,??0)为未知参数,自一批这种器件中随机地取

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