《概率论与数理统计》课程自学指导书要点

1.(P373T3)设

XX0?1,X,12,?,Xn,?是相互独立且都以概率p(0

n概率q=1—p取值0的随机变量序列。令

S??Xnk?0k。证明

?s,n?0?构成一马氏链,并

n写出它的状态空间和一步转移概率矩阵。 2.(P374T7)设任意相继的雨天中,雨天转晴天的概率为1/3,晴天转雨天的概率为1/2,任一天晴或雨是互为逆事件。以0表示晴天状态,以1表示雨天状态,状态(0或1)。试写出马氏链

Xn表示第n天的

?Xn,n?1?的一步转移概率矩阵。又若已知5月1日为晴天,

问5月3日为晴天,5月5日为雨天的概率各等于多少? 3.(P374T8)在一计算系统中,每一循环具有误差的概率取决于先前一个循环是否有误差。以0表示误差状态,以1表示五误差状态。设状态的一步转移概率矩阵为

   0    10?0.75  0.25?P??1?0.5   0.5??试证明相应齐次马氏链是遍历的,并求其极限分布(平稳分布):(1)

用定义解;(2)利用遍历性定理解

4.(P375T11)设马氏链的一步转移概率矩阵为的

1/2  0??1/2  ?P??1/2  1/2  0???0   1??0   ?。证明此链不是遍历

第十二章 平稳随机过程

一、内容概述 #

二、教学目的要求 # (1) 了解平稳过程的概念。 (2) 各态历经性及各态历经过程。

(3) 掌握相关函数的性质,平稳随机过程的功率谱密度。 三、重、难点内容解析 #

1. 平稳随机过程的概念

平稳随机过程的定义 2. 各态历经性

各态历经性的概念,各态历经过程、均值各态历经定理 3. 相关函数性质

自相关函数

4.平稳随机过程的功率谱密度

平稳随机过程的功率谱密度,谱密度的性质,互谱密度及性质 四、复习思考与作业题 #

,t?0?是强度为?的泊松过程,1(P410T4)设?N(t)定义随机过程Y(t)?N(t?L)?N(t),

其中常数L>0。试求Y(t)的均值函数和自相关函数,并向Y(t)是否是平稳过程? 2(P411T9)设平稳过程X(t)的自相关函数为

R(?),证明:

XP?|X(t??)?X(t)|?a??2RX(0)?RX(?)/a(a?0)2??

242S3(P411T13)已知平稳过程X(t)的谱密度为

值。

(?)?X???3??2,求X(t)的均方

?|?|?1?,|?|?T(?)??TRX?|?|?T,求谱密度?0,   4(P411T14)已知平稳过程X(t)的自相关函数为

(?)S。

X5(P412T17)设平稳过程X(t)的谱密度为密度是

(?)S,证明:Y(t)=X(t)+X(t-T)的谱

XSY(?)?2SX(?)(1?cos?T)

6(P412T18)设X(t)和Y(t)是两个平稳相关的过程,证明

ReSYX(?)?ReSXY(?),

ImSYX(?)?ImSXY(?)。

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