第3讲 平面向量与复数
专题强化训练
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1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z满足z(1＋i)＝2i，则z的共轭复数z等于( )
A．1＋i C．－1＋i
B．1－i D．－1－i
2i2i（1－i）
解析：选B.由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝1＋i，
1＋i（1＋i）（1－i）－
则z的共轭复数z＝1－i.故选B.
→→→
2．在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝( ) 1→1→A.AB＋AD 223→1→C.AB＋AD 44
3→1→
B.AB＋AD 421→3→D.AB＋AD 24
→→→→
解析：选B.因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，
→1→→1→→→1→→1→3→1→
所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.
222242
3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，则复数||＝( )
i
A.25
355
3
B.2
zC.D.5
解析：选D.复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，所以z·(2－i)(2＋i)
z?2－i??－i（2－i）?
＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z＝10－5i，可得z＝2－i.则复数||＝??＝??＝
i?i??－i·i?
|－1－2i|＝|1＋2i|＝1＋2＝5.故选D.
→→
4.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，则DE·BF＝( )
5A．－
2C．－4
3B．
2D．－2
2
2
解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD中，
E，F分别为BC和DC的中点，以A为坐标原点，AB，AD为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，F(1，2)．所以DE＝(2，－1)，BF＝(－1，2)，所以DE·BF＝
－4.
5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4.若→→→
存在非零实数x、y，使得AO＝xAB＋yAC，且x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为( )
2A. 3C.2 3
B.3 3→
→
→
→
1D. 3
→→→→→
解析：选A.设线段AC的中点为点D，则直线OD⊥AC.因为AO＝xAB＋yAC，所以AO＝xAB＋→
2yAD.又因为x＋2y＝1，所以点O、B、D三点共线，即点B在线段AC的中垂线上，则AB＝BC3＋4－32
＝3.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝.故选A.
2×3×43
π→→→
6．在△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠A＝，如果不等式|BA－tBC|≥|AC|恒成立，则实
2数t的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
1??C．?－∞，?∪[1，＋∞) 2??
2
2
2
?1?B．?，1?
?2?
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
3→→→
，由|BA－tBC|≥|AC|，得212
解析：选C.在直角三角形ABC中，易知AC＝1，cos∠ABC＝→2
→→