这说明?服从单点分布：P(?=a)=1，?(t)?反之，若?(t)?eiat。
eiat，则
1?aitiat?e也是特征函数。所以当且仅当?(t)?e时，?(t)?(t)及
1才都是特征函数。 ?(t)3.104 设?(t)是特征函数，且t?a (a>0)时，?(t)=0 令
??(t) t ?a或t ?3a ?g(t)= ??(t?2a) -3a?t??a??(t - 2a) a?t?3a ?证明g(t)也是一个特征函数。
证：因?(t)绝对可积，故?(t)是密度函数为
P(x)=
12??e????i t x??(t)dt
的分布的特征函数。因g(t)绝对可积，故欲证g(t)是特征函数，仅需验证
1h(x)?2??e????i t x?g(t)dt?(1?cos2ax)?p(x)
是密度函数。h(x)?0是显然的。又据Fourier变换式和逆变换式，
??-?h(x)dx?????ei t xh(x)dxt?0?g(0)??(0)?1。所以h(x)是密度函数。从而g(t)是特
征函数。
3.105 举例说明：若?(t)是随机变量?的特征函数，?'(0)存在，但是?的数学期望不存在。 解：取密度函数为
?0,|x|?2?p(x)??c?x2log|x|,|x|?2?
其中c为常数，由
?????p(x)dx?1所决定。其特征函数
??(t)??eitxp(x)dx?2c???2costxdx
x2logx在
????|x|p(x)dx?2??211dx|t|? 时，利用0?1?cosx?min(2,x2)，故
xlogx21?costx 2xlogx0?|?(t)??(0)|?2c??2?1?costx?1|t|1?costx? ?2c?? dx?dx?22?12xlogx|t|xlogx????21|t|1dx? ?2c?t? dx?2?12?2logx|t|xlogx?? ?2ct2log ?o(t)
1|t|?1??2???o(t) |t|??所以?(t)在t?0有导数为0，然而由在。
????|x|p(x)dx?2??21dx发散，知其一阶矩不存
xlogx