?(1?e?3x)(1?e?4y),x?0,y?0 F(x,y)??
?0,其它（3）P（0???1,0???2)
=F（1，2）-F（0，2）-F(1,0)-F(0,0) =1?e?3?e?6?e?11.
3.25 设二维随机变量(?,?)有密度函数 P(x,y)?A
?2(16?x2)(25?y2)求常数A及(?,?)的分布函数。
??解：
????????p(x,y)dxdy
=
Adxdy 222???????(16?x)(25?y)4A??dxdyA =2???1，所以A=20； 2?220?016?x025?yxy F(x,y)???????p(t,s)dtds
=
dtds 22??2??(16?t)(25?s)???x20xy20?dt =2??2??16?t??? =
?yds????25?s2????
?
1?x??y??arctg?arctg???242?52??3．26 设二维随机变量(?,?)的密度函数为
?4xy,0?x?1,0?y?1 p(x,y)??
0,其它?求（1）P(0???11,???1)； （2）P(???); 24 （3）P(???)； （4）P(???)。
解： （1）P(0???12111,???1) 24121 =
??4xydxdy?4?xdx?ydy?01401415; 64 （2）P(???)?X?Y??4xydxdy?0;
11x?y （3）P(???)?1??4xydxdy???4xydydx
0?? =2(x?x)dx?0?81; 2
（4） P(???)?1. 23．27 设二维随机变量(?,?)的密度函数为
?2xy?x?,0?x?1,0?y?2 p(x,y)?? 3??0,其它求P(????1)。 解: P(????1)?x?y?1??p(x,y)dxdy
(x2?xy)dydx 312 =
1??01?? =(x?0?56342165x?x)dx? 3272 或利用P(????1)?1?P(????1)求. 3.28设（?,?）的密度函数为
?1?,0?x?1,0?y?2p(x,y)=?2
??0,其他求?与?中至少有一个小于
1的概率。 2解：P[(??=1-
1111)?(??)]=1-P(??,??) 2222p(x,y)dxdy
??1??1122=1-
15dxdy=. ?12?122823.29 一台机器制造直径为?的轴，另一台机器制造内径为?的轴套，设（?,?）的密度函数为
?2500,0.49?x?0.51,0.51?y?0.53p(x,y)=? ?0,其他?如果轴套的内径比轴的直径大于0.004，但是不大于0.036，则两者就能很好地配合成套。现在随机地选择轴和轴套，问两者能很好配合的概率是多少？
解：P(0.004
==
0.004?y?x?0.036??f(x,y)dxdy
22?(0.02)?(0.04)??2500?0.96 。
3.30 一个电子器件包含两个主要元件，分别以?和?表示这两个元件的寿命（以小时计），
设（?,?）的分布函数为
?0.01x?0.01y?0.01(x?y)??e?e,x?0,y?0?1?eF(x,y)?? ??0,其他
求两个元件的寿命都超过120的概率。
解：
P(??120,??120)?1?P[(??120)?(??120)]?1?P(??120)?P(??120)?P(??120,??120)?1?F(120?0,?)?F(?,120?0)?F(120?0,120?0)?1?(1?e?e?2.4?1.2
?1.2)?(1?e?1.2)?(1?2e?e?2.4)?0.093.31 设
p(x),p(x)都是一维分布的密度函数，为使
12p(x,y)?p(x)?p(y)?h(x,y)
12为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必须且只需满足什么条件？ 解：若p(x,y)为二维分布的密度函数，则
p(x,y)?0,????????p(x,y)dxdy?1。
1所以条件（1）h(x,y)?p(x)?p2(y);(2)?h(x,y)dxdy?0得到满足。
??? 反之，若条件（1），（2）满足，则 p(x,y)?0,????????p(x,y)dxdy?1,p(x,y)为二维分布的密度函数。
因此，为使p(x,y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件（1）和（2）。 3．32 设二维随机变量（?,?）具有下述密度函数，求边际分布。
?2e?y?1,x?1,y?1?（1）p(x,y)??x3
?0.其他?(x2?y2)?1?1，x?0,y?0或x?0,y?0??e2(2) p(x,y)???
?0.其他?1?k1?1k2?1?y?x?(y?x)?e,0?x?y?(3)p(x,y)???(k1)??(k2)
?0.其他?解（1）p?(x)???12e?y?12dy?,(x?1); 33xxp?(x)?0,(x?1).
p?(y)???12e?y?1dx?e?y?1,(y?1); 3xp?(y)?0,(y?1).
（2）x>0时，
p?(x)??01???1?e1?(x2?y2)2dy?12?12?e?x22x?0时，p?(x)???0
??e1?(x2?y2)2dy?x22?e?x22,所以，p?(x)?12??e?.同理，p?(y)?12??e?y22.
?xk1?1（3）p?(x)???(y?x)k2?1?e?ydy
?(k1)??(k2)x ?1?xk1?1?e?x,(x?0); ?(k1) p?(x)?0,(x?0).
ye?y p?(y)???xk1?1?(y?x)k2?1dx
?(k1)??(k2)0
?1?yk1?k2?1?e?y,(y?);
?(k1?k2) p?(y)?0,(y?0).
3．33 设二维随机变量在边长为a的正方形内服从均匀分布，该正方形之对角线为坐标轴，求边际分布密度。