?4?2?x?t22?x2/?2?2?p?x?????,x?0??0e/2?dx???e?? ?0,x?0???则
Emax?,??????4??24??0x?t2/?2?2?dt??x2/?2?2?dx? ??0e??x?e?? ???2??xe?t2/?2?2?dt???2e?x2/?2?2???0?????2???0??2??e?x0?2/?2dx? ?? ?4???0e?x/?2dx?2?/?
3.71 设?1,?2,......,?n为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对
任意的k(1?k?n),有
1k E????????????n?
n??1n?????????k证：?j??i?1i同分布(j?1,.....,n),又?jn?所以E??1,?i??ji?1?n??i?都存在且相等
i?1n???(j?1,.....,n)。由于1?E??j?????n?E?i???1i?1????i?，所以
i?1n????1??????k???E??k?E??1??????????n??1
??i???
i?1n??kn3.72设?是非负型随即变量,证明:对小x>0,有 P(?
E? x证: P(???)? ?1? ?1???0P?(t)dt?1??t?p?(t)dt
x???xt1?p?(t)dt?1??t?p?dt xx0E? xr3.73若有对联系型变量?,有E???(r?0),证明P(???)?E?/?r
r证: P(???)??x??p?(x)??xx??rr??p?(x)dx
?1?r?????x?p?(x)dx?E?/?r.
rr3.74设二维随即变量(?，?)有分布密度: (1) p(x,y)?(2) p(x,y)???6xy20?x?1,0?y?10其他
?2?x?y0?x?1,0?y?10其他sin(x?y)?12(3) p(x,y)??0其他?0?x?,0?y?22?
求(?，?)的协方差矩阵.
证:(1) p(x,y)可分离变量,故?与?相互独立.
E???110011?x?6xy2dxdy?23118
D???0011?x26xy2dxdy?(23)2?3E????y?6xy2dxdy?004D???223)2?3y6xydxdy?(40?08011(?，?)的协方差矩阵为
?118 ??0?0?? 3?80?1125,, E???0?03121152112 E????x(6?x?y)dydx?()?,
001214411 D??,
14411511cov(?,?)???x2(6?x?y)dydx?()2??,
0012144(2) E??x(6?x?y)dydx?
(?，?)的协方差矩阵为
?1?11?144144? ???1?11?144144?(3) E?? E?? D????0?2?201?x??sin(x?y)dydx??0.785 24
?40?0.785,
?20???216??21?x??sin(x?y)dydx?()x 24?2?0.187,
=
?2 D???216??2?2?0.187,
?2?2 cov(?,?)???001?x??sin(x?y)dydx?()x 24 ??2?1??216??0.045
(?，?)的协方差矩阵为
?0.187?0.045? ??
?0.0450.187??3.75已知随即变量?与?的相关系数为?,求?1?a??b与?1?c??d的相关系数,其中a,b,c,d均为常数,a,c皆不为零. 解: ??1?1?E??(?1?E?1)?(?1?E?1)?E(?1?E?1)?E(??E?1)22
?acac?cov(?,?)?ac?0???????ac?0
a?D??cD?ac3.76 (1) 设?1,?2,?3~`?n?m（n>m）是独立同分布（连续型或离散型）且方差存在的随机变量，求???1??2?~~~??n与???m?1??m?2?~~~??n?m的相关系数；
，且任意两个随机变量 （2）设随机变量?1,?2,?3~`?2n的数学期望为零，方差均为1的相关系数都为???1??2?~~~??n与???m?1??m?2?~~~??n?m的相关系数； 解：（1）不妨设E?i?0,i?1,2,3~~~,n?m.。则E??E??D??D??n*E?1.。 Cov((???)?E?*??E(?1??2~~~??n)*(?m?1?~~~??m?n)
2?n?2 =E???k??i?j? ??k?m?2?i?1,~~~,n,i?j??j?m?1,~~~m?n,?? =(n-m)*E?1。 ??2cov?(,?)D?*D??n?m。 n(2) D??D(?1?~~~??n)? =n+n(n-1)
?D?i?1ni?2*1?i?j?n?cov(?i??j)
?,同理D??n?n(n?1)?，（???）?cov(?1??2?~~~~??n,?n?1,~~~~,?2n) Cov(
=
1?i?n?j?2n?cov(?,?ij)?n2*?
??,??cov(?,?)D?*D??n?。
1?(n?1)?3.77 设?1,?2,?3~`?n 是独立同分布随机变量，且三阶中距等于零，求
1n1n22 ??*??i与???(?i??) 的相关系数。
ni?1ni?12?E(??E?)*?2 解：cov(?，?） =E
?i?1(?i?E?i)nn*?i?1(?i?E?i)2?[?i?1(?i?E?i)]2/nnnn 因为 ，E(?i?E?j)*(?j?E?j)*(?k?E?k)?0，对任意的i,j,k都成立，所以cov(?,?2)?0,??,??2?03.78 ，设随机变量?与?都具有只取两个数值，则不相关时，?与?独立。
证：不妨设?与?的取值分别为0、b1与0、b2。因为?与?不x相关，所以E(?,?)
E?*E?。由E??b1*P(??b1),E??b2*P(??b2),E(?,?)?b1*b2*P(??b1,??b2）??b1?与B????b2，可知，随机变量A=?立，从而A与BB,A与B,A与B都相互独立，故?与?独立。
23.79设随机变量?具有密度函数，且密度函数为偶函数，又E(?)??，试证：?与???3?相互独
不相关，但不独立。
3证：随机变量?的密度函数为偶函数，故E??E?，E??0。
2cov(?,?)?E(??E?)(?2?E?2)?E?(?2?E?2)?E?3?E?2 ，
E??0，故?与?不相关。
倘若?与?独立。令?的分布函数为F(x) ，因?具有密度函数，故F(x)是连续的。由
P(?x???x)?P(?x???x,??x2)?P(?x???x)?P(??x2)知，
F(x)?F(?x)?[F(x)?F(?x)]2。故对任意的正数，F(x)?F(?x)?0或1，此时
F(x)?F(?x)在x?0时为非降的连续函数相矛盾。故?与?不独立。
3.80设一口袋中装有n个球，每个球上标有各不相同的数字，不放回地从袋中取球，每次一个球，第k次取到的球上的数字定义为?k，k=1，2，…，n，对任意的j?k ，求?i与?k的相关系数。
解：设这n个各不相同的数为 a1，a2,…，an。P(?j?ai)?1，i,j=1，…，n。故 nE??j1nnn??i?1ai，D?j?[n??i?1ai2?(?i?1ai)2]/n2，j=1，…，n。 n1，i,l=1，…，n；i?l。
n(n?1)1n2a)=?ii?1n?i与?k（j?k）的联合分布列为P(?i?ai,?k?al)?cov(?i,?k)=E(?i??k)?(E?i)?(E?k)=2n2n2in221?i?l?nn?aial/[n(n?1)]?(2n[(?i?1ai)??i?1a]/[n(n?1)]?(?i?1ai)/n=[(?i?1ai)?n??i?1ai2]/[n2(n?1)]。
因此
??i?k?cov?(j,?k)D?j?D?k?1。 1?n3.81设随机变量?1，?2，…，?n中任意两个的相关系数都是?，试证：???证： 0?E[ ?n1 。 n?1?i?1(?i?E?i)]2=?i?1D?i?2?1?i?j?nnn1?i?j?n?D?i?D?j)
?i?1D?i????(D?i?D?j)=?i?1D?i[1??(n?1)]，
n故1??(n?1)?0，???1。 n?13.82设(?1，?2，…，?n) 为n维随机变量，且协方差矩阵B=(bi,j) 存在，证明：若B=0，