一．选择题（共2小题） 1．如图，已知动点P在函数y=
（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分
别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF?BE的值为（ ）
A． 4
B． 2
C． 1
D．
考点： 反比例函数综合题。 专题： 动点型。 分析：
由于P的坐标为（a，
），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、
NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示
AF，BE，最后即可求出AF?BE．
解答：
解：∵P的坐标为（a，∴N的坐标为（0，∴BN=1﹣
，
），且PN⊥OB，PM⊥OA，
），M点的坐标为（a，0），
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）， ∴NF=BN=1﹣
，
，
），
∴F点的坐标为（1﹣
同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a）， ∴AF2=（﹣∴AF2?BE2=
）2+（
）2=
，BE2=（a）2+（﹣a）2=2a2，
?2a2=1，即AF?BE=1．
故选C．
点评： 本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所
求的值．
2．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 二次函数综合题。 分析：
首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点
A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易
得A′B′即是所求的长度．
解答： 解：如图
∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点， ∴x2﹣x﹣=x﹣2， 解得：x=1或x=， 当x=1时，y=x﹣2=﹣1， 当x=时，y=x﹣2=﹣，
∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），
∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=
作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′， 连接A′B′，
则直线A′B′与x=的交点是E，与x轴的交点是F， ∴BF=B′F，AE=A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′， 延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=， ∴A′B′=
=
． ．
∴点P运动的总路径的长为
故选A．
点评： 此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数
形结合与方程思想的应用．
二．解答题（共28小题） 6．（2004?长沙）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E． （1）求证：△ABP∽△PCE； （2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．
考点： 等腰梯形的性质；解分式方程；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质。 专题： 几何综合题。
分析： （1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角
的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；
（2）可过作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值；
（3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值．设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长．若方程无解，则说明不存在符合条件的P点．
解答： （1）证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE ∴∠EPC=∠BAP ∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE；
（2）解：过A作AF⊥BC于F；
∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，
∴BF=
，
Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2； ∴AB=4cm；
（3）解：存在这样的点P．