高中数学北师大版必修五学案:第一章 1.1 数列的概念

1.1 数列的概念

学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式.

知识点一 数列及其有关概念

思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗?

思考2 数列的记法和集合有些相似,那么数列与集合的区别在哪儿?

梳理 (1)按____________排列的____________叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的____.

(2) 数列的一般形式可以写成________________________________简记为________,其中数列的第1项a1,也称________;an是数列的第n项,也叫数列的________. 知识点二 通项公式

思考1 数列1,2,3,4,…的第100项是多少?你是如何猜的?

梳理 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子叫作这个数列的通项公式.数列的通项公式就是相应函数的解析式.不是所有的数列都能写出通项公式.

思考2 数列的通项公式an=f(n)与函数解析式y=f(x)有什么异同?

类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式

例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: 1111925(1)1,-,,-;(2),2,,8,;

234222(3)9,99,999,9 999;(4)2,0,2,0.

反思与感悟 由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中项的构成规律,

看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的变化而变化,确定变化部分随序号变化的规律,继而将an表示为n的函数关系.

跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)-

1111,,-,; 1×22×33×44×5

22-132-142-152-1(2),,,;

2345(3)7,77,777,7 777.

类型二 数列的通项公式的应用 引申探究

对于例2中的{an}. (1)求an+1; (2)求a2n.

?-1?n?n+1?例2 已知数列{an}的通项公式an=,n∈N+.

?2n-1??2n+1?(1)写出它的第10项;

2

(2)判断是不是该数列中的项.

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反思与感悟 在通项公式an=f(n)中,an相当于y,n相当于x,求数列的某一项,相当于已知x求y,判断某数是不是该数列的项,相当于已知y求x,若求出的x是正整数,则y是该数列的项,否则不是.

11

跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N+,那么是这个数列的第______

120n?n+2?项.

1.下列叙述正确的是( )

A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n} C.数列0,1,0,1,…是常数列 n

D.数列{}是递增数列

n+1

2.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为( ) A.an=n,n∈N+ B.an=n+1,n∈N+ C.an=n+2,n∈N+ D.an=2n,n∈N+

?-1?n1·n

3.已知数列{an}的通项公式an=,n∈N+,则a1=________;an+1=________.

2n-1

1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质:

(1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性:数列中的数可以重复.

(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳. 3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.

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