2017年全国高中数学联合竞赛竞赛二试(B卷)试题和参考答案

2017年全国高中数学联合竞赛加试(B卷)

一、(本题满分40分)

设实数a,b,c满足a?b?c?0,令d?max{a,b,c},证明:(1?a)(1?b)(1?c)?1?d2

二、(本题满分40分)

给定正整数m,证明:存在正整数k,使得可将正整数集N?分拆为k个互不相交的子集A1,A2,集Ai中均不存在4个数a,b,c,d(可以相同),满足ab?cd?m. ,Ak,每个子

三、(本题满分50分) 如图,点D是锐角?ABC的外接圆?上弧BC的中点,直线DA与圆?过点B,C的切线分别相交于点P,Q,

BQ与AC的交点为X,CP与AB的交点为Y,BQ与CP的交点为T,求证:AT平分线段XY. 四、(本题满分50分) 设a1,a2,,a20?{1,2,,5},b1,b2,,b20?{1,2,,10},集合X?{(i,j)1?i?j?20,(ai?aj)(bi?bj)?0},

求X的元素个数的最大值. 2017年全国高中数学联合竞赛加试(B卷) 一、(本题满分40分) 设实数a,b,c满足a?b?c?0,令d?max{a,b,c},证明:(1?a)(1?b)(1?c)?1?d 证明:当d?1时,不等式显然成立

以下设0?d?1,不妨设a,b不异号,即ab?0,那么有

2因此(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c?1?c?1?d

222二、(本题满分40分)

给定正整数m,证明:存在正整数k,使得可将正整数集N?分拆为k个互不相交的子集A1,A2,,Ak,每个子

集Ai中均不存在4个数a,b,c,d(可以相同),满足ab?cd?m.

证明:取k?m?1,令Ai?{xx?i(modm?1),x?N?},i?1,2,设a,b,c,d?Ai,则ab?cd?i?i?i?i?0(modm?1),

,m?1

故m?1ab?cd,而m?1m,所以在Ai中不存在4个数a,b,c,d,满足ab?cd?m

三、(本题满分50分) 如图,点D是锐角?ABC的外接圆?上弧BC的中点,直线DA与圆?过点B,C的切线分别相交于点P,Q,

BQ与AC的交点为X,CP与AB的交点为Y,BQ与CP的交点为T,求证:AT平分线段XY. 证明:首先证明YX//BC,即证AXAY ?XCYB连接BD,CD,因为S?ACQS?ABC?S?ABCS?ACQ, ?S?ABPS?ABP111AC?CQsin?ACQAC?BCsin?ACBAC?AQsin?CAQ所以2,① ?2?2111AB?BCsin?ABCAB?BPsin?ABPAB?APsin?BAP222由题设,BP,CQ是圆?的切线,所以?ACQ??ABC,?ACB??ABP,又,于是由①知?CAQ??DBC??DCB??BAP(注意D是弧BC的中点)AB?AQCQ② ?AC?APBP因为?CAQ??BAP,所以?BAQ??CAP, 于是

S?ABQS?ACP1AB?AQsin?BAQAB?AQ2③ ??1AC?APsin?CAPAC?AP2而

S?BCQS?BCP1BC?CQsin?BCQCQ2④ ??1BC?BPsin?CBPBP2

由②,③,④得

S?ABQS?ACP?S?CBQS?BCP,

S?ABQS?CBQS?ABQS?CBQ?S?ACP S?BCPAXS?ACPAY?,

XCS?BCPYB又

?故

AXAY ?XCYBAXCMBY???1, XCMBYA设边BC的中点为M,因为所以由塞瓦定理知,AM,BX,CY三线共点,交点即为T,故由YX//BC可得AT平分线段XY 四、(本题满分50分) 设a1,a2,,a20?{1,2,,5},b1,b2,,b20?{1,2,,10},集合X?{(i,j)1?i?j?20,(ai?aj)(bi?bj)?0},

求X的元素个数的最大值. 解:考虑一组满足条件的正整数(a1,a2,对k?1,2,,a20,b1,b2,,b20) ,5,设a1,,a20中取值为k的数有tk个,根据X的定义,当ai?aj时,(i,j)?X,因此至少有?Ck?1552tk个(i,j)不在X中,注意到?tk?15k?20,则柯西不等式,我们有555111512022C??(t?t)??((t)?t)??20?(?1)?30 ?????kkkk22525k?1k?1k?1k?1k?12tk2从而X的元素个数不超过C20?30?190?30?160

另一方面,取a4k?3?a4k?2?a4k?1?a4k?k(k?1,2,,5),bi?6?ai(i?1,2,,20),

2则对任意i,j(1?i?j?20),有(ai?aj)(bi?bj)?(ai?aj)((6?ai)?(6?aj))??(ai?aj)?0

22等号成立当且仅当ai?aj,这恰好发生5C4?30次,此时X的元素个数达到C20?30?160

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