2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设实数a,b,c满足a?b?c?0，令d?max{a,b,c}，证明：(1?a)(1?b)(1?c)?1?d2 二、（本题满分40分）
给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N?分拆为k个互不相交的子集A1,A2,L,Ak，每个子集Ai中均不存在4个数a,b,c,d（可以相同），满足ab?cd?m. 三、（本题满分50分）
如图，点D是锐角?ABC的外接圆?上弧BC的中点，直线DA与圆?过点B,C的切线分别相交于点P,Q，BQ与AC的交点为X，CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T，求证：AT平分线段XY. 四、（本题满分50分）
设a1,a2,L,a20?{1,2,L,5}，b1,b2,L,b20?{1,2,L,10}，集合
X?{(i,j)1?i?j?20,(ai?aj)(bi?bj)?0}，求X的元素个数的最大值.
2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设实数a,b,c满足a?b?c?0，令d?max{a,b,c}，证明：(1?a)(1?b)(1?c)?1?d2 证明：当d?1时，不等式显然成立
以下设0?d?1，不妨设a,b不异号，即ab?0，那么有 因此(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c2?1?c?1?d2 二、（本题满分40分）
给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N?分拆为k个互不相交的子集A1,A2,L,Ak，每个子集Ai中均不存在4个数a,b,c,d（可以相同），满足ab?cd?m. 证明：取k?m?1，令Ai?{xx?i(modm?1),x?N?}，i?1,2,L,m?1 设a,b,c,d?Ai，则ab?cd?i?i?i?i?0(modm?1)，
2故m?1ab?cd，而m?1m，所以在Ai中不存在4个数a,b,c,d，满足ab?cd?m 三、（本题满分50分）
如图，点D是锐角?ABC的外接圆?上弧BC的中点，直线DA与圆?过点B,C的切线分别相交于点P,Q，BQ与AC的交点为X，CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T，求证：AT平分线段XY. 证明：首先证明YX//BC，即证连接BD,CD，因为
AXAY ?XCYBS?ACQS?ABC?S?ABCS?ACQ， ?S?ABPS?ABP111AC?CQsin?ACQAC?BCsin?ACBAC?AQsin?CAQ222所以， ① ??111AB?BCsin?ABCAB?BPsin?ABPAB?APsin?BAP222由题设，BP,CQ是圆?的切线，所以?ACQ??ABC，?ACB??ABP，又（注意D是弧BC的中点），于是由①知?CAQ??DBC??DCB??BAP②
因为?CAQ??BAP，所以?BAQ??CAP，
AB?AQCQ ?AC?APBP1S?ABQ2AB?AQsin?BAQAB?AQ于是 ③ ??1S?ACPAC?APsin?CAPAC?AP21S?BCQ2BC?CQsin?BCQCQ而 ④ ??1S?BCPBC?BPsin?CBPBP2由②，③，④得
S?ABQS?ACP?S?CBQS?BCP，
即
S?ABQS?CBQS?ABQS?CBQ?S?ACP S?BCPSAYAX，?ACP? S?BCPYBXC又故
?AXAY ?XCYB设边BC的中点为M，因为
AXCMBY???1， XCMBYA所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三线共点，交点即为T，故由YX//BC可得AT平分线段XY
四、（本题满分50分）
设a1,a2,L,a20?{1,2,L,5}，b1,b2,L,b20?{1,2,L,10}，集合
X?{(i,j)1?i?j?20,(ai?aj)(bi?bj)?0}，求X的元素个数的最大值. 解：考虑一组满足条件的正整数(a1,a2,L,a20,b1,b2,L,b20)
对k?1,2,L,5，设a1,L,a20中取值为k的数有tk个，根据X的定义，当ai?aj时，
(i,j)?X，因此至少有?C个(i,j)不在X中，注意到?tk?20，则柯西不等式，我
k?12tkk?1555111512022们有?C??(?tk??tk)??((?tk)??tk)??20?(?1)?30
2k?125k?125k?1k?1k?12tk2?30?190?30?160 从而X的元素个数不超过C20555另一方面，取a4k?3?a4k?2?a4k?1?a4k?k（k?1,2,L,5），bi?6?ai（i?1,2,L,20）， 则对任意i,j（1?i?j?20），有
(ai?aj)(bi?bj)?(ai?aj)((6?ai)?(6?aj))??(ai?aj)2?0
等号成立当且仅当ai?aj，这恰好发生5C42?30次，此时X的元素个数达到
2C20?30?160
综上所述，X的元素个数的最大值为160.