第三章习题一解答
一、求下列集合的幂集 1、{杨,李,石}
解：P({杨,李,石}) ={?, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}
2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}
解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={?,{1,2}}
二、利用包含排斥原理，求解以下各题。 1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：
(1) 阅读全部三种杂志的人数。
(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。
解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。 由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A∪B∪C|=52。已知 |A|=25，|B|=26，|C|=26
|A∩C|=9，|A∩B|=11，|B∩C|=8 （1）由包含排斥原理可知
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩C|-|A∩B|-|B∩C|+| A∩B∩C|， 故 52=25+26+26-9-11-8+| A∩B∩C|，即有 | A∩B∩C|=3，
所以同时读三种杂志的人为3 人。 （2）注意到 |S∩T| = |S|-|S∩T|，故
只读《每周新闻》的人数为：
|A?B?C|?|A?(B?C)|?|A|?|A?(B?C)|?|A|?|(A?B)?(A?C)| =|A|-|A∩B|-|A∩C|+| A∩B∩C|=25-9-11+3=8；
只读《时代》人数为：|B?A?C|?|B|-|B∩A|-|B∩C|+| A∩B∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：|C?A?B|?|C|-|C∩A|-|C∩B|+| A∩B∩C|=26-9-8+3=12。
2、某班25个学生，14人会打篮球，12人会打排球，6人会篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，已知6人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。 解：先求出会打球的人，25-会打球的人=不会打球的人。
|篮|=14, |排|=12, |篮∩排|=6, |篮∩网|=5, |篮∩排∩网|=2，|网|=6， 又 6= |网∩(篮?排)| = |网∩篮|+|网∩排|-|网∩篮∩排|, 故 5+ |网∩排|-2=6， 故 | 网∩排|=3,
由包含排斥原理可知会打球的人数为
|篮∪排∪网|=|篮|+|排|+|网|-|篮∩排|-|篮∩网|-|排∩网|+|篮∩排∩网| =14+12+6- 6- 5-3+2=20， 故不会打球有5 人。
3、在 1 到300 的整数中（1 和300 包含在内），分别求满足以下条件的整数个数：
(1) 同时能被3，5，7 整除；
(2) 不能被3 和 5 整除，也不能被7 整除的数； (3) 可以被3 整除，但是不能被 5 和7 整除； (4) 可以被3 或5 整除，但不能被7 整除； (5) 只被3,5,7 中一个整除的数；
解：用A3 表示1 到300中能被3 整除的数的集合，A5表示1 到300中能被5整除的数的集合，A7表示1 到300中能被7 整除的数的集合。 则有 |A3|=?300/3?=100， |A5|=?300/5?=60 ，|A7|=?300/7?=42； | A3∩A5 |=?300/15?=20， | A3∩A7|=?300/21?=?100/7?=14，| A5∩A7|=?300/35?=?60/7?=8， | A3∩A5∩A7|=2。
| A3∪A5∪A7| = |A3|+| A5|+|A7|-|A3∩A5|-|A3∩A7|-|A5∩A7|+|A3∩A5∩A7|
=100+60+42-20-14-8+2 =162
(1) 同时能被3，5，7 同时整除的数的个数为 | A3∩A5∩A7|=2； (2) 不能被3 和 5 整除，也不能被7 整除的数的个数为 | A3∩A5∩A7|=300- | A3∪A5∪A7| =300-162=138；
(3) 注意到 |A∩B| = |A|-|A∩B|，故可被3整除但不能被 5 和7 整除的数的个数为 | A3∩A5∩A7| = | A3∩(A5∪A7)| = | A3 |-| (A3∩A5)∪(A3∩A7)|
=| A3 |-| A3∩A5|-| A3∩A7|+| A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68;
(4) 可以被3 或5 整除，但不能被7 整除的数的个数为
| (A3∪A5)∩A7| =| (A3∩A7)∪(A5∩A7)| =| A3∩A7|+| A5∩A7|-| A3∩A5∩A7| =(| A3|-| A3∩A7|)+ (| A5|-| A5∩A7|)-(| A3∩A5|-| A3∩A5∩A7|) = (100-14)+(60-8)-(20-2)=120;
(5) 只被3,5,7 中一个整除的数的个数分别为
只被3 整除的数：| A3|-| A3∩A5|-| A3∩A7|+| A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68； 只被5 整除的数：| A5|-| A5∩A3|-| A5∩A7|+| A5∩A3∩A7|=60-20-8+2=34 ； 只被7 整除的数：| A7|-| A7∩A3|-| A7∩A5|+| A7∩A3∩A5|=42-14-8+2=22。
4、求 1~120 之间的素数。
提示：采用筛选法求不超过 120 之间的素数。由 120<121，故
120<11，只要去掉
2,3,5,7的倍数，则剩下来的数不可能有因数存在，即为素数。 解：令A2，A3，A5，A7分别为1~120范围内能被2，3，5，7 整除的数的集合，则1~120中去除2,3,5,7的整倍数后所剩的数的个数为
| A2∩A3∩A5∩A7| = 120- | A2∪A3∪A5∪A7| 。
由于
|A2|=?120/2?=60，|A3|=?120/3?=40，|A5|=?120/5?=24，|A7|=?120/7?=17；
|A2∩A3|=?120/6?=20， |A2∩A5|=?120/10?=12， |A2∩A7|=?120/14?=60/7=8，
|A3∩A5|=?120/15?=40/5=8 ，|A3∩A7|=?120/21?=40/7=5，|A5∩A7|=?120/35?=24/7=3； |A2∩A3∩A5|=?120/(2*3*5) ?=4 ，|A2∩A3∩A7|=?120/(2*3*7) ?=2 ， |A3∩A5∩A7|=?120/(3*5*7) ?=1， |A2∩A5∩A7|=?120/(2*5*7) ?=1； |A2∩A3∩A5∩A7|=?120/(2*3*5*7) ?=0 ； 所以
| A2∪A3∪A5∪A7|=60+40+24+17-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0=141-56+8=149-56=93 ， 故1~120中去除2,3,5,7的整倍数后所剩的数的个数为120-93=27。
但这不是素数的个数，因为去除倍数时还去除了2,3,5,7的一倍，这本是不该去掉的，应当补回来，而这剩下的27个数中1不是素数，应该去掉——故素数的总数应当是
27+4-1=30 。
5、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000 在内）不能被4、5、6 整除的数有多少个？
解：设A4, A5, A6 分别表示1?10000范围内被4,5,6 整除的数的集合，则要求的数的个数为(注意分母中的是最小公倍数)：
|A4?A5?A6|?10000?|A4?A5?A6|
=10000－[ (?10000/4?+?10000/5?+?10000/6?)－((?10000/20?+?10000/12?＋?10000/30?)]＋?10000/30?
=10000－[(2500+2000+1666)－(500+833+333)+166]
=1000－4666=5334
6、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）既不是某个整数的平方，也是不是某个整数的立方的数有多少？
解：设A={x2 | 1? x2?10000}，B={x3 | 1? x3?10000}，则要求的数的个数为
|A?B|?10000?|A?B| ?1000?(|A|?|B|?|A?B|) ?10000?([10000]?[310000]?[610000]). ?10000?(100?21?4) ?10000?117?9883
7、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）有多少个整数包含了1，2，3 和4。 解：设A1, A2, A3, A4 分别表示1?10000范围内含1,2,3,4的数的集合。
（1）如果将题意理解为要求整数只含有1,2,3,4之一时，则要求的数的个数为
|A1?A2?A3?A4|?10000?|A1?A2?A3?A4|。
而 |A1?A2?A3?A4|为1?10000内不含1,2,3,4的数的个数，这相当于用六个数字0,5,6,7,8,9去填四个空格的方案数。用排列组合中的乘法法则知，共有6?6?6?6?1296种
不同填法，但其中一种填法0000不合要求，故符合要求的填法有1296-1=1295种。
故题目的解为 10000－1295=8705.
（２）如果将题意理解为要求整数同时含有1,2,3,4时，显然1?10000范围内只有四位数同时含有1,2,3,4，且1,2,3,4每个数只可能出现一次，即这样的四位数只能是1,2,3,4的排列。所以，共有4!=24个。