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华南理工大学期末考试
《信息安全数学基础》试卷A
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共 四大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 一 得 分 评卷人 二 三 四 总分 一． 选择题：（每题2分，共20分）
1．设a, b, c?0是三个整数，c?a，c?b，如果存在整数s, t，使得sa＋tb＝1，则 ( ) 。
(1) (a, b)= c，(2) c＝? 1，(3) c＝s，(4) c＝t 。 2．大于20且小于70的素数有 ( ) 个 。
(1) 9，(2) 10，(3) 11，(4) 15 。
3．模7的最小正完全剩余系是 ( ) 。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7， (2) －6, －5, －4, －3, －2, －1, 0， (3) －3, －2, －1, 0, 1, 2, 3， (4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6。 4．模30的简化剩余系是 ( ) 。
(1) －1, 2, 5, 7, 9, 19, 20, 29， (2) －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29， (3) 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29， (4) 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 。 5．设n是整数，则
_____________ ________ 姓名 学号 ??(d)?( ) 。
d|n(1) d，(2) n，(3) nd，(4) 2n 。 6．下面的集合和运算是群的是 ( ) 。
(1)
(4)
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7．模17的平方剩余是 ( )。
(1) 3，(2) 10，(3) 12，(4) 15
8．整数5模17的指数ord17(5)＝( )。
(1) 3，(2) 8，(3) 16，(4) 32
9． Fermat定理：设p是一个素数，则对任意整数a有 ( )。
(1) a p＝1 (mod p)， (2) a ? (p)＝1 (mod a)， (3) a ? (p)＝a (mod p)， (4) a p ＝a (mod p) 10．设a是整数，
A．a≡0（mod 9），B．a≡2004（mod 9） C．a的十进位表示的各位数字之和可被9整除
D．去掉a的十进位表示中所有的数字9，所得的新数被9整除 以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（ ）。
(1) 1个， (2) 2个， (3) 3个， (4) 4个。
二． 填空题：（每题2分，共20分）
1．设m是正整数，a是满足a ? m的整数，则一次同余式：ax ? b (mod m)有解的充分必要条件是 。当同余式ax ? b (mod m) 有解时，其解数为 。
2．设m是正整数，则m个数0, 1, 2, ? , m－1中 叫做m的欧拉(Euler)函数，记做? (m)。
3．设m是正整数，若同余式 有解，则a叫模m的平方剩余。
?s?1?2p2?ps,?i?0,i?1,2,?,s，4．设a, b是正整数，且有素因数分解 a?p1?2b?p1?1p2?ps?s,?i?0,i?1,2,?,s，则(a, b)＝ ，
[a, b]＝ 。
5．如果a对模m的指数是 ，则a叫做模m的原根。
6．设m是一个正整数，若 r1, r2, ?, r? (m)是? (m)个 ，则r1, r2, ?, r? (m)是模m的一个简化剩余系。
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7．Wilson定理：设p是一个素数，则 。 8．2007年1月18日是星期四，第220070118天是星期 。 9．(中国剩余定理) 设m1, ?, mk是k个两两互素的正整数，则对任意的整数b1, ?, bk 同余式组 x ? b1 (mod m1)
? ? ? ?
x ? bk (mod mk)
有唯一解。令m＝m1?mk，m＝miMi，i＝1,?,k，则同余式组的解为： ， 其中 。
?k?1?pk10．正整数n有标准因数分解式为 n?p1，则n的欧拉函数
? (n)＝ 。
三．证明题 （写出详细证明过程）：（共30分）
1．设m是一个正整数，a≡b（mod m），如果整数d∣(a, b, m)证明：abm?(mod)。 （6分） ddd
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3．设m是一个正整数，a满足(a, m)＝1，则存在整数a?，1 ? a? < m使得 aa??1 (mod m)。 （6分）
3．证明Euler定理：设m是大于1的正整数，如果a是满足(a, m)＝1的整数。则a? (m) ? 1 (mod m)。 （12分）
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4．证明：设p和q是两个不相等的素数，证明：pq?1?qp?1?1(modpq)。
（6分）
四．计算题（写出详细计算过程）：（共30分）
1．设m＝737，a＝635，利用广义欧几里得除法求整数a?，1 ? a? < m使得 aa??1 (mod m)。 （6分）
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2．设a＝－1859，b＝1573，运用广义欧几里得除法
(1) 计算(a, b)； (2) 求整数s，t使得sa＋tb＝(a, b)。 （8分）
3．运用中国剩余定理和模重复平方法计算31213 (mod 667)。 《信息安全数学基础》试卷第 6 页 共 6 页
（16分）