2019-2020年高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用学案

答案 A

→→

→→

解析 AB=(2,1),CD=(5,5),由定义知AB在CD方向上的投影为AB·CD1532==. →252|CD|

→→

(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=________. 答案 2

→→

→→

?→→?122122

解析 解法一:AE·BD=?AD+1AB?·(AD-AB)=AD-AB=2-×2=2.

222??

解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),

→→→

则AE·BD=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.

考向

命题角度1 平面向量的垂直

例 2 (1)如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则AC·AD=( )

平面向量数量积的性质

D(0,2),AE=(1,2),BD=(-2,2),

A.23 B.答案 D

33

C. D.3 23

→→→

→→→→→→→→→→→→→

解析 AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD=BC·AD=3BD·AD=3|BD||AD|cos∠BDA=3|AD|=3.

(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.

答案 7

解析 ∵a=(-1,2),b=(m,1), ∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3). 又a+b 与a垂直,∴(a+b)·a=0, 即(m-1)×(-1)+3×2=0, 解得m=7.

命题角度2 平面向量的模

例 3 (1)[2018·济南模拟]设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=3,a·(a-b)=0,则|2a+b|=( )

A.2 B.23 C.4 D.43 答案 B

解析 ∵a·(a-b)=0,∴a=a·b=1,|a-b|=a-2a·b+b=3,∴b=4,∴|2a+b|=4a+4a·b+b=4+4+4=23.故选B.

(2)已知向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|a+b|=13,则|b|等于( ) A.5 B.4 C.3 D.1 答案 B

解析 |a+b|=(a+b) =a+2a·b+b

=|a|+2|a||b|cos120°+|b|

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

?1?22

=3+2×3×|b|×?-?+|b|

?2?

=9-3|b|+|b|=13, 即|b|-3|b|-4=0,

解得|b|=4或|b|=-1(舍去). 命题角度3 平面向量的夹角

例 4 (1)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=3,且|2a+b|=7,则向量a与向量

2

2

a+b的夹角为( )

A.

πππ

B. C. D.π 236

2

答案 B

解析 由题意,得|2a+b|=4+4a·b+3=7,所以a·b=0,所以a·(a+b)=1,且|a+b|=?a+b?=2,故cos〈a,a+b〉=

2

a·?a+b?1π

=,所以〈a,a+b〉=.故选

|a|·|a+b|23

B.

(2)[2017·山东高考]已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________.

答案

3 3

解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0, |3e1-e2|= ?3e1-e2?= 3e1-23e1·e2+e2 =3-0+1=2.

同理|e1+λe2|=1+λ.

?3e1-e2?·?e1+λe2?

所以cos60°= |3e1-e2||e1+λe2|=

3e1+?3λ-1?e1·e2-λe2

21+λ3. 3

2

2

2

2

2

2

2

3-λ1==, 2

221+λ

解得λ= 触类旁通

平面向量数量积求解问题的策略

(1)求两向量的夹角:cosθ=

a·b,要注意θ∈[0,π]. |a||b|

(2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b?a·b=0?|a-b|=|a+b|.

(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有: ①a=a·a=|a|或|a|=a·a; ②|a±b|=?a±b?=a±2a·b+b; ③若a=(x,y),则|a|=x+y.

考向

向量运算的最值或取值范围

→→

例 5 [2018·福建质检]平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,AB·AD=4,点P在边

→→

222

2

2

2

2

CD上,则PA·PB的取值范围是( )

A.[-1,8] C.[0,8] 答案 A

π

解析 由题意得AB·AD=|AB|·|AD|·cos∠BAD=4,解得∠BAD=.以A为原点,AB3

→→

B.[-1,+∞) D.[-1,0]

所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(5,3),D(1,3),因

→→

为点P在边CD上,所以不妨设点P的坐标为(a,3)(1≤a≤5),则PA·PB=(-a,-3)·(4

2

2

-a,-3)=a-4a+3=(a-2)-1,则当a=2 时,PA·PB取得最小值-1,当a=5时,→→

PA·PB取得最大值8.故选A.

触类旁通

求向量的最值或范围问题

求最值或取值范围必须有函数或不等式,因此,对于题目中给出的条件,要结合要求的夹角或长度或其他量,得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围),然后利用相关知识求出最值或取值范围.

π

【变式训练2】 在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB,AD的长分别为2,1,若M,

3→→

|BM||CN|

N分别是边BC,CD上的点,且满足=,则AM·AN的取值范围是________.

→→

|BC|

答案 [2,5]

|BM||CN|

解析 设==λ(0≤λ≤1),

→→

|BC||CD|

|CD|→

→→→→→

→→→→

→→→

→→→

则BM=λBC=λAD,

DN=(1-λ)DC=(1-λ)AB,

则AM·AN=(AB+BM)·(AD+DN) =(AB+λAD)·[AD+(1-λ)AB]

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4