答案 A
→
→
→→
→→
解析 AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，由定义知AB在CD方向上的投影为AB·CD1532＝＝. →252|CD|
→→
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________. 答案 2
→→
→→
→
→
?→→?122122
解析 解法一：AE·BD＝?AD＋1AB?·(AD－AB)＝AD－AB＝2－×2＝2.
222??
解法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，C(2,2)，
→→→
则AE·BD＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.
考向
命题角度1 平面向量的垂直
→
→
→
→
→
例 2 (1)如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD＝( )
平面向量数量积的性质
→
D(0,2)，AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，
A．23 B.答案 D
33
C. D.3 23
→→→
→→→→→→→→→→→→→
解析 AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝AB·AD＋BC·AD＝BC·AD＝3BD·AD＝3|BD||AD|cos∠BDA＝3|AD|＝3.
(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
答案 7
解析 ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又a＋b 与a垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m＝7.
命题角度2 平面向量的模
例 3 (1)[2018·济南模拟]设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝3，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
A．2 B．23 C．4 D．43 答案 B
解析 ∵a·(a－b)＝0，∴a＝a·b＝1，|a－b|＝a－2a·b＋b＝3，∴b＝4，∴|2a＋b|＝4a＋4a·b＋b＝4＋4＋4＝23.故选B.
(2)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|等于( ) A．5 B．4 C．3 D．1 答案 B
解析 |a＋b|＝(a＋b) ＝a＋2a·b＋b
＝|a|＋2|a||b|cos120°＋|b|
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?1?22
＝3＋2×3×|b|×?－?＋|b|
?2?
＝9－3|b|＋|b|＝13， 即|b|－3|b|－4＝0，
解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)． 命题角度3 平面向量的夹角
例 4 (1)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，则向量a与向量
2
2
a＋b的夹角为( )
A.
πππ
B. C. D．π 236
2
答案 B
解析 由题意，得|2a＋b|＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝?a＋b?＝2，故cos〈a，a＋b〉＝
2
a·?a＋b?1π
＝，所以〈a，a＋b〉＝.故选
|a|·|a＋b|23
B.
(2)[2017·山东高考]已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
答案
3 3
解析 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， |3e1－e2|＝ ?3e1－e2?＝ 3e1－23e1·e2＋e2 ＝3－0＋1＝2.
同理|e1＋λe2|＝1＋λ.
?3e1－e2?·?e1＋λe2?
所以cos60°＝ |3e1－e2||e1＋λe2|＝
3e1＋?3λ－1?e1·e2－λe2
21＋λ3. 3
2
2
2
2
2
2
2
3－λ1＝＝， 2
221＋λ
解得λ＝ 触类旁通
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝
a·b，要注意θ∈[0，π]． |a||b|
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a＝a·a＝|a|或|a|＝a·a； ②|a±b|＝?a±b?＝a±2a·b＋b； ③若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y.
考向
向量运算的最值或取值范围
→→
例 5 [2018·福建质检]平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，AB·AD＝4，点P在边
→→
222
2
2
2
2
CD上，则PA·PB的取值范围是( )
A．[－1,8] C．[0,8] 答案 A
π
解析 由题意得AB·AD＝|AB|·|AD|·cos∠BAD＝4，解得∠BAD＝.以A为原点，AB3
→→
→
→
B．[－1，＋∞) D．[－1,0]
所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4,0)，C(5，3)，D(1，3)，因
→→
为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为(a，3)(1≤a≤5)，则PA·PB＝(－a，－3)·(4
→
2
2
→
－a，－3)＝a－4a＋3＝(a－2)－1，则当a＝2 时，PA·PB取得最小值－1，当a＝5时，→→
PA·PB取得最大值8.故选A.
触类旁通
求向量的最值或范围问题
求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围．
π
【变式训练2】 在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1，若M，
3→→
|BM||CN|
N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则AM·AN的取值范围是________．
→→
|BC|
答案 [2,5]
→
→
|BM||CN|
解析 设＝＝λ(0≤λ≤1)，
→→
|BC||CD|
|CD|→
→
→→→→→
→→→→
→→→
→→→
→
则BM＝λBC＝λAD，
DN＝(1－λ)DC＝(1－λ)AB，
则AM·AN＝(AB＋BM)·(AD＋DN) ＝(AB＋λAD)·[AD＋(1－λ)AB]