南京市2018届高三数学考前综合题
一．填空题
1．已知l，m是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l∥α，l∥m，则m∥α；
②若l?α，m?β，α∥β，则l∥m； ③若l?α，m?β，l⊥m，则α⊥β； ④若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号）
2．已知函数f(x)＝3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ．
3．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2＝4y焦点的直线l交抛物线于M，N两点，若抛物线在点M，N处x2y2
的切线分别与双曲线C2：2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ．
ab→→→4．已知点P是△ABC内一点，满足AP＝λAB＋μAC，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D，BD＝2DC，则λ＋μ＝ ．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，{a2n－1}是公差为d的等差数列，{a2n}是公比为q的等比数列，且a1＝a2＝a，d
S2：S4：S6＝1：3：6，则的值是 ．
aq
31
6．已知函数f(x)＝－x＋，若直线l1，l2是函数y＝f (x)图像的两条平行的切线，则直线l1，l2之间的距离的最
4x大值是 ．
x2y2
7．在平面直角坐标系xOy中，点P是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)上一点，F为椭圆C的右焦点，直线FP与
abb2
圆O：x＋y＝相切于点Q，若Q恰为线段FP的中点，则椭圆C的离心率为 ．
4
2
2
8．实数x，y满足x2＋2xy＋4y2＝1，则x＋2y的取值范围是 ．
→→→→9．已知AB＝4，点M，N是以AB为直径的半圆上的任意两点，且MN＝2，AM·BN＝1，则AB·MN＝ ．
N
M A B
→→10．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1，1)，若圆M：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上存在两点A，B使得AP＝2PB，
则r的取值范围是 ．
11．在平面四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，△ABC为等边三角形，则△BCD面积的最大值是 ． D
C A
B
12．已知函数f (x)＝x2－[k2＋(2－a)k＋4－a]x＋1，a，k∈R．对于任意k＞0有：任意x1∈[－1，0]，
任意x2∈[k，k＋2]，f (x1)≥f (x2)成立，则a的最大值是 ．
13．已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，则当a＋b取最小值时，b的值
为 ．
?f (x)，f (x)≥g (x)，
14．已知函数f (x)＝x－ax＋1，g (x)＝3x－2，若函数F(x)＝?有三个零点，则实数a的取值
?g (x)，f (x)＜g (x)，
3
范围是 ． 二．解答题
15．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f '(x)是f(x)的导函数．
（1）求函数F(x)＝f(x)f '(x)＋3f 2(x)的最大值和最小正周期；
π
（2）若f(x)＝2f '(x)，求sin(2x＋)的值．
4
→→·→16．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足(2a＋c)→BC·BA＋cCACB＝0． （1）求角B的大小；
→→（2）若b＝23，试求AB·CB的最小值．
17．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝2AP＝2，PD＝3．
求证：（1）PA⊥平面PCD；
（2）求点C到平面PBD的距离．
A
P
C D B
18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，相距2千米，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时
的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．
（1）若v＝12，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与小船相遇，
试求运动员游泳速度的最小值；
（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m＜t)小时后，再游泳匀速直线追赶小
船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．
A
C
30° 岸边
B