第2个等式:1?1?1?1?1,
2323第3个等式:1?2?1?2?1,
3434第4个等式:1?3?1?3?1,
4545第5个等式:1?4?1?4?1,
5656…
按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式:______;
(2)写出你猜想的第n个等式:______(用含n的等式表示),并证明. 【解答】(1) 1?5?1?5?1
6767(2) 1?n?1?1?n?1?1
nn?1nn?1(3)证明:左边
(n?1)?n(n?1)?(n?1)n(n?1)?1?n?1?1?n?1???1 nn?1nn?1n(n?1)n(n?1)右边=1
∴左边=右边 ∴原等式成立
五、(本题共2小题,每小题10分, 20分)
19.为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3o,平面镜E的俯角为45o,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据:tan39.3o≈0.82,tan84.3o≈10.02)
【解答】∵∠DEF=∠BEA=45
∴∠FEA=45o
在Rt△FEA中,EF=2FD,AE=2AB ∴tan∠AFE=EF=AB
o
AEFD∴AB=FD×tan∠AFE=1.8×10.02≈18 答:旗杆AB高约18米.
20.如图,⊙O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.
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【解答】(1)画图略 (2)∵AE平分∠BAC ∴弧BE=弧EC,连接OE 则OE⊥BC于点F,EF=3 连接OC.EC
在Rt△OFC中,由勾股定理可得FC=21 在Rt△EFC中,由勾股定理可得CE=30
六、(12分)
21.\校园诗歌大赛\结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下:
(1)本次比赛参赛选手共有______人,扇形统计图中 \.5～79.5\这一组人数占总参赛人数的百分比为______; (2)赛前规定,成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分,试判断他能否获奖,并说明理由; (3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率. 【解答】(1)50,30% (2)不能;
由统计图知,79.5-89.5和89.5-99.5两组占参赛选手60%, 而78＜79.5, ∴他不能获奖.
(3)由题意得树状图如下
由树状图知,共有12种等可能结果, 其中恰好选中1男1女的8结果共有种, 故P=8?2
123七、(12分)
22.小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆
利润是19元,调研发现:
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为
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W1,W2(单位:元)
(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;
(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少? 【解答】(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000 W2=19(50-x)=-19x+950
(2)W总=W1+W2=-2x2+41x+8950 ∵-2＜0,?41=10.25 2?(?2)故当x=10时,W总最大
W总最大=-2×102+41×10+8950=9160
八、(14分)
23.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90o,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM;
(2)若∠BAC=50o,求∠EMF的大小;
(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.
【解答】
(1)证明:∵M为BD中点
Rt△DCB中,MC=12BD,Rt△DEB中,EM=12BD
∴MC=ME
(2)法1:∵∠BAC=50o,∴∠ADE=40o, ∵CM=MB, ∴∠MCB=∠CBM
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM① 同理,∠DME=2∠EBM②
∴①+②得:∠CME=2∠CBA=2(90o―50o) =80o ∴∠EMF=180o―∠CME =180o-80o =100o (2)法2:∵∠BAC=50o,
∴40o=∠ADE=∠DCE+∠DEC =∠DCE+∠DBC=∠DCE+∠BCM
∴∠ECM=90o―(∠DCE+∠BCM)=90o―40o =50o ∴∠EMF=∠ECM +∠CEM=2∠ECM =100o (2)法3:
∵∠CDE=∠DAE+∠AED =90o+50o=140 o, 即∠MDC +∠MDE =140 o, ∴∠MCD+∠MED =140 o,
∴∠CME=∠CMD+∠DME=360 o―140 o―140 o=80 o ∴∠EMF=180o―∠CME =180o-80o =100o
(3)法1:
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同(2)中理可得∠CBA=45o,∴∠CAB=∠ADE=45o ∵△DAE≌△CEM,
∴DE=CM=ME=12BD=DM,∠ECM=45o, ∴△DEM等边,∴∠EDM=60o,∴∠MBE=30o, ∵∠MCB+∠ACE=45o,∠CBM+∠MBE=45o, ∴∠ACE=∠MBE=30o
∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75o, 连接AM, ∵AE=EM=MB,
∴∠MEB=∠EBM=30o,∠AME=1∠MEB=15o, ∵∠CME=90o
,∴∠CMA=90o
-15o
2=75o=∠ACM, ∴AC=AM,
∵N为CM中点,∴AN⊥CM, ∵CM⊥EM,∴AN∥CM (3)法2:
易得:AE=EM=MB=MC ∠DEM=60o,∠CEM=45o,
∴∠DEC=15o=∠DBC=∠MBC,∴∠CMB=150o 又∠AEM=60o+90o=150o,
∵等腰△AEM≌等腰△BMC,∴AM=CB=AC ∵N为CM中点,∴AN⊥CM, ∵CM⊥EM,∴AN∥CM
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