热传导方程的差分格式 第2页
一维抛物方程的初边值问题
分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题：
?u?2u?a2,?t?x0?x?1,
u(x,0)?sin?x,u(0,t)?u(1,t)?0,0?x?1 t?0
2在t?0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u(x,t)?e??tsin(?x)进行比较。
1差分格式形式
设空间步长h?1/N, 时间步长?（1）向前差分格式
该问题是第二类初边值问题（混合问题），我们要求出所需次数的偏微商的函数
?0，T?M?，网比r??/h2.
?u?2uu(x,t)，满足方程?a2,?t?x及边值条件u(0,t)?u(1,t)?0,
0?x?1,和初始条件u(x,0)?sin?x,，0?x?1t?0。
已知sin?x在相应区域光滑，并且在x?0,l与边值相容，使问题有唯一充分光滑的
解。 直
取空间步长h?1/N，和时间步长??T/M，其中N,M都是正整数。用两族平行线
x?jx?(jh0?,j1,和
tN?tk?k?(k?0,1,,M)将矩形域
G?{0?x?1,t?0}分割成矩形网络，网络格节点为(xj,tk)。以Gh表示网格内点集合，
即位于矩形G的网点集合；Gh 表示闭矩形G的网格集合；?h?Gh?Gh是网格界点的集合。
向前差分格式，即
?1uk?ukjj??akkukj?1?2uj?uj?1h2?fi （1）
fi?f(xi)，
kku0j??j??(xj),u0?uN?0
其中，j?1,2,?,N?1,k?1,2,?,M?1.以r?a?/h表示网比。（1）式可改写成如下：
?1kkuk?rukjj?1?(1?2r)uj?ruj?1??fj
2此格式为显格式。
其矩阵表达式如下：
r?1?2r??u1j??u1j?1????j??j?1?1?2r?r??u2??u2?????????? ???????jj?1r1?2rr??uN?1??uN?1???j??j?1??r1?2r????uN??uN?（2）向后差分格式
向后差分格式，即
?1uk?ukjj?1k?1?1uk?ukj?1?2ujj?1??ah2?fj,
（2）
kku0j??j??(xj),u0?uN?0,
其中j?1,2,?,N?1,k?1,2,?,M?1.（2）式可改写成
?1k?1?1k?ruk?rukj?1?(1?2r)ujj?1?uj??fj
此种差分格式被称为隐格式。
其矩阵表达式如下：
?r?1?2r??u1j?1??u1j????j?1??j???r1?2r??u2??u2?????????? ???????j?1j?r1?2r?r??uN?1??uN?1???j?1??j???r1?2r????uN??uN?（3）六点对称格式
六点差分格式：
?1uk?ukjjk?1k?1k?1kkkauj?1?2uj?uj?1uj?1?2uj?uj?1?[?]?fj （3） 222hh?kku0j??j??(xj),u0?uN?0.
热传导方程的差分格式 第4页
将（3）式改写成
r?1rk?1rkrkk?1k?uk?(1?r)u?u?u?(1?r)u?uj?1??fj j?1jj?1j?1j2222其矩阵表达式如下:
?1?r?r/2??u1j?1??1?rr/2??u1j????j?1????j???r/21?r??u2??r/21?r??u2??????????????????????j?1j?r/21?r?r/2??uN?1??r/21?rr/2??uN?1???j?1???j???r1?2r?r/21?2r????uN????uN?2利用MATLAB求解问题的过程
对每种差分格式依次取N?40.，?=1/1600，?=1/3200，?=1/6400，用
求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的L2误差。 向前差分格式： t?0.05:
?=1/1600：
MATLAB
??1/3200:
??1/6400:
t?0.1:
??1/3600: