奥数培优 数论专题
第一讲 整除问题初步
从这一讲开始,我们将会进人一个神奇而美妙的世界:数论. 什么是数论呢?
人类从学会数数开始,就一直和整数打交道.人们在对整效的应用村研究中,探索出很多奇妙的数学规律,正是这些富有魅力的规律,吸引了古往今来的许多学家,于是就出现了数论这门学科.
确切地说,数论就是一门研究整数性质的学科.
我们就从最基本的性质一一整除开始,一起在数论的海洋中邀游吧. 数论在数学中的地位是独特的,伟大的数学家高斯曾经说过:“数学是科学的皇后,数论是数学的皇冠.”
一、整除的定义
如果整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数且没有余数,找们就说a能被b整除,也可以说b能整除a,记作b|a.
如果除得的结果有余数,我们就说a不能被b整除,也可以说b不能整除a. 二、整除的一些基本性质 1.尾数判断法
(1)能被2、5整除的数的特性:个位数字能被2、5整除. (2)能被4、25整除的数的特性:末两位能被4、25整除. (3)能被8,125整除的数的特性:末三位能被8、125整除. 2.数字求和法
能被3、9整除的数的特性:各位数字之和能被3、9整除. 3.奇偶位求差法
能被11整除的数的特性:“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除. 我们把一个数从右往左数的第1、3、5位,··,统称为奇数位,把一个数从右往左数的第2、4、6位,统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”,把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”.
下面我们来看一下如何运用这些性质. 例题1：判断下面11个数的整除性:23487、3568、8875、6765、5880、7538、198954、6512、93625、864、407.
(1)这些数中,有哪些数能被4整除?哪些数能被8整除? (2)哪些数能被25整除?哪些数能被125整除? (3)哪些数能被3整除?哪些数能被9整除? (4)哪些数能被11整除?
练习1：在数列3124:、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除,哪些数能被3整除,哪些数能被11整除?
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如果将例题1中能被3整除的数相加或相减,会发现得到的结果还能被3整除;同样的,如果将其中能被11整除的数相加或相减,会发现得到的结果同样能被11整除. 从中我们可以总结出如下规律:
和整除性与差整除性:两个数如果都能被自然数a整除,则它们的和与差也都能被a整除.
例题2：173?是一个四位数.文老师说:“我在其中的方框内先后填入3个数字得到3个四位数,依次能被9,11,8整除.\问:文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少?
练习2：在23?的方框内先后填入3个数字,分别组成3个三位数,使它们依次被3,4,5整除.
上面我们已经学习了如何利用“整除特性”,解决单个数的整除问题.下面我们再来看一看涉及多个数的整除问题应该如何解决.
例题3：牛叔叔给45名工人发完工资后,将总钱数记在一张纸上. 但是记账的那张纸破了两个洞,上面只剩下“67?8?”,其中方框表示破了的洞.牛叔叔记得每名工人的工资都一样,并且都是整数元.请问:这45名工人的总工资有可能是多少元呢?
练习3：四位数3?3?能被36整除,那么这个四位数可能是多少?
在例3中,我们井不知道45的整除特性,但是,能被45整除的数,也能被5和9整除,那么只需考虑5和9的整除特性即可.
请同学们注意,虽然45=3x15,但是在考虑能否被45整除时,不能只考虑被3和15整除.你能想明白这是为什么吗?
例题4：一天,王经理去电信营业厅为公司安装一部电话.服务人员告诉他,目前只有形如“1234?6?8”的号码可以申请. 也就是说,在申请号码时,方框内的两个数字可以随意选择,而其余数字不得改动.王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问:他申请的号码可能是多少?
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练习4：七位数22?333?能被44整除,那么这个七位数是多少?
有时候满足题目条件的答案会非常多.如果只要求找出最大的或最小的,我们只需要从极端情况考虑即可.
例题5：在所有各位数字互不相同的五位数中,能被45整除的数最小是多少?最大是多少?
例题6：由1、3、4、7、8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少?
作业
1、下面有9个自然数:48、75、90、122、650、594、4305、7836、4100.其中能被4整除的有哪些?能被25整除的有哪些?
2、有如下5个自然数:12345、189、72457821、333666、54289.其中能被9整除的有哪些?
3、有如下5个自然数:3124、3823、45235、5289、5588.其中能被11整除的有哪些?
4、125?是一个四位数.王老师说:“我在其中的方框内先后填入3个数字,得到3个四位数, 依次能被9、11、8整除.”问:王老师在方框中先后填人的3个数字之和是多少?
5、 阿呆买了72支同样的钢笔,可是发票不慎落水浸湿,单价已无法辨认,总价数字也不全,只能认出:?11.4?元(?表示不明数字).请问总价应该是多少?
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