胡适耕-实变函数答案-第一章(B)

第一章习题 B

36.若AΔB=AΔC,则B=C.

证一:(反证)不妨设,?x0?B,且x0?C

1) x0?A,则x0?AΔB,x0?AΔC这与AΔB=AΔC矛盾 2) x0?A,则x0?AΔB,x0?AΔC这与AΔB=AΔC矛盾 所以假设不成立,即B=C.

证二:A??A?B???A\\?A?B?????A?B?\\A???A?B???B\\A??B 同理A??A?C??C,现在已知A?B?A?C故上两式左边相等,从而B?C. 37.集列{An}收敛?{An}的任何子列收敛.

证 由习题8集列?An?收敛?特征函数列?An收敛,由数分知识得数列

?????收敛????的任一子列??AnAnAnj?均收敛,又由习题8可得?A?收敛.

njnn38.设An?{m/n:m?Z}(n?1,2?),则limAn=Z,limAn=Q.

证 显然有Z?limAn?limAn?Q

nn1) 假设?x?Q\\Z,使x?limAn

n∴?N>0,当n>N时,有x?An,特别地, x?An,x?An?1 ∴?m1,m2?Z,使x=从而m2?m1?m1mmm,x=2 ∴1=2 nn?1nn?1m1,这与m2?Z矛盾,所以假设不成立,即:limAn=Z.

nnm n2)?x?Q,则?m,n?Z,使得x=

m?nkmm?n∴x==2=…=k?1=…

nnn∴x?Ank,(k=1,2…),从而x?limAn ∴limAn=Q.

nn39.设0

n证 ?x?(0,1]

1) ∵ 0N时,有anN时,x?[an,bn] ∴(0,1]?lim[an,bn].

n2) 假设?y>1,使y?lim[an,bn],则y属于集列{[an,bn]}中的无限多个集

n合.又因为y>1, bn?1 ,故?N?0,当n>N时,有bnN时,y?[an,bn] 从而y只会属于集列{[an,bn]}中的有限多个集合. 这与y会属于集列{[an,bn]}中的无限多个集合矛盾. 所以假设不成立,即?y?(1,?),有y?lim[an,bn].

n显然,?y?(??,0]有y?lim[an,bn],故lim[an,bn]?(0,1].

nn综上所述,lim[an,bn]=(0,1].

n40.设fn:X?R(n??), fn??A(n??),求limX(fn?1/2).

n解 1)?x0?A,fn??A( n??),故fn(x0)??A(x0)?1( n??). ∴?N?0,当n>N时,有fn(x0)?1/2.

∴当n>N时,x0?X(fn?1/2),从而x0?limX(fn?1/2).

nc2)?x0?A,fn??A( n??),故fn(x0)??A(x0)?0( n??).

∴?N?0,当n>N时,有fn(x0)?1/3.

∴x0?limX(fn?1/2) ∴ limX(fn?1/2)=A

nn41.设{An}为升列,A?UAn,对任何无限集B?A,存在n使BIAn为无限集,则A含于某个An.

证 假设A不含于任何An中,又{An}为升列,

则对n?1,?x1?A\\A1,由于A??An,故?n1?N,使x1?An1,即

x1?An1\\A1;对n?2,?x2?A\\A2,又A??An故?n2?N使

x2?An2?An2?1??

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