第一章习题 B
36.若AΔB=AΔC,则B=C.
证一:(反证)不妨设,?x0?B,且x0?C
1) x0?A,则x0?AΔB,x0?AΔC这与AΔB=AΔC矛盾 2) x0?A,则x0?AΔB,x0?AΔC这与AΔB=AΔC矛盾 所以假设不成立,即B=C.
证二:A??A?B???A\\?A?B?????A?B?\\A???A?B???B\\A??B 同理A??A?C??C,现在已知A?B?A?C故上两式左边相等,从而B?C. 37.集列{An}收敛?{An}的任何子列收敛.
证 由习题8集列?An?收敛?特征函数列?An收敛,由数分知识得数列
?????收敛????的任一子列??AnAnAnj?均收敛,又由习题8可得?A?收敛.
njnn38.设An?{m/n:m?Z}(n?1,2?),则limAn=Z,limAn=Q.
证 显然有Z?limAn?limAn?Q
nn1) 假设?x?Q\\Z,使x?limAn
n∴?N>0,当n>N时,有x?An,特别地, x?An,x?An?1 ∴?m1,m2?Z,使x=从而m2?m1?m1mmm,x=2 ∴1=2 nn?1nn?1m1,这与m2?Z矛盾,所以假设不成立,即:limAn=Z.
nnm n2)?x?Q,则?m,n?Z,使得x=
m?nkmm?n∴x==2=…=k?1=…
nnn∴x?Ank,(k=1,2…),从而x?limAn ∴limAn=Q.
nn39.设0
n证 ?x?(0,1]
1) ∵ 0
n2) 假设?y>1,使y?lim[an,bn],则y属于集列{[an,bn]}中的无限多个集
n合.又因为y>1, bn?1 ,故?N?0,当n>N时,有bn
n显然,?y?(??,0]有y?lim[an,bn],故lim[an,bn]?(0,1].
nn综上所述,lim[an,bn]=(0,1].
n40.设fn:X?R(n??), fn??A(n??),求limX(fn?1/2).
n解 1)?x0?A,fn??A( n??),故fn(x0)??A(x0)?1( n??). ∴?N?0,当n>N时,有fn(x0)?1/2.
∴当n>N时,x0?X(fn?1/2),从而x0?limX(fn?1/2).
nc2)?x0?A,fn??A( n??),故fn(x0)??A(x0)?0( n??).
∴?N?0,当n>N时,有fn(x0)?1/3.
∴x0?limX(fn?1/2) ∴ limX(fn?1/2)=A
nn41.设{An}为升列,A?UAn,对任何无限集B?A,存在n使BIAn为无限集,则A含于某个An.
证 假设A不含于任何An中,又{An}为升列,
则对n?1,?x1?A\\A1,由于A??An,故?n1?N,使x1?An1,即
x1?An1\\A1;对n?2,?x2?A\\A2,又A??An故?n2?N使
x2?An2?An2?1??