胡适耕-实变函数答案-第一章(B)

第一章习题 B

36．若AΔB=AΔC，则B=C．

证一：（反证）不妨设，?x0?B,且x0?C

1) x0?A,则x0?AΔB，x0?AΔC这与AΔB=AΔC矛盾 2) x0?A，则x0?AΔB，x0?AΔC这与AΔB=AΔC矛盾 所以假设不成立，即B=C．

证二：A??A?B???A\\?A?B?????A?B?\\A???A?B???B\\A??B 同理A??A?C??C，现在已知A?B?A?C故上两式左边相等，从而B?C． 37．集列{An}收敛?{An}的任何子列收敛．

证 由习题8集列?An?收敛?特征函数列?An收敛，由数分知识得数列

?????收敛????的任一子列??AnAnAnj?均收敛，又由习题8可得?A?收敛．

njnn38．设An?{m/n:m?Z}(n?1,2?),则limAn=Z，limAn=Q．

证 显然有Z?limAn?limAn?Q

nn1） 假设?x?Q\\Z,使x?limAn

n∴?N>0,当n>N时，有x?An，特别地， x?An，x?An?1 ∴?m1,m2?Z,使x=从而m2?m1?m1mmm,x=2 ∴1=2 nn?1nn?1m1,这与m2?Z矛盾，所以假设不成立，即：limAn=Z．

nnm n2）?x?Q,则?m,n?Z,使得x=

m?nkmm?n∴x==2=…=k?1=…

nnn∴x?Ank,(k=1,2…),从而x?limAn ∴limAn=Q．

nn39．设0

n证 ?x?(0,1]

1) ∵ 0N时，有anN时，x?[an,bn] ∴(0,1]?lim[an,bn]．

n2) 假设?y>1,使y?lim[an,bn]，则y属于集列{[an,bn]}中的无限多个集

n合．又因为y>1, bn?1 ，故?N?0,当n>N时，有bnN时，y?[an,bn] 从而y只会属于集列{[an,bn]}中的有限多个集合． 这与y会属于集列{[an,bn]}中的无限多个集合矛盾． 所以假设不成立，即?y?(1,?),有y?lim[an,bn]．

n显然，?y?(??，0]有y?lim[an,bn],故lim[an,bn]?(0,1].

nn综上所述，lim[an,bn]=(0,1]．

n40．设fn：X?R（n??）, fn??A(n??),求limX(fn?1/2)．

n解 1）?x0?A，fn??A( n??)，故fn(x0)??A(x0)?1( n??)． ∴?N?0,当n>N时，有fn(x0)?1/2．

∴当n>N时，x0?X(fn?1/2)，从而x0?limX(fn?1/2)．

nc2）?x0?A，fn??A( n??)，故fn(x0)??A(x0)?0( n??)．

∴?N?0,当n>N时，有fn(x0)?1/3．

∴x0?limX(fn?1/2) ∴ limX(fn?1/2)=A

nn41．设{An}为升列，A?UAn，对任何无限集B?A,存在n使BIAn为无限集，则A含于某个An．

证 假设A不含于任何An中,又{An}为升列，

则对n?1，?x1?A\\A1，由于A??An，故?n1?N，使x1?An1，即

x1?An1\\A1；对n?2，?x2?A\\A2，又A??An故?n2?N使

x2?An2?An2?1??