高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编

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第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设

求答案:

二、求下列函数的定义域:

y2、 三、求下列极限:

x2siny 1、lim (0) 2、 x2y四、证明极限 lim不存在 证明:当沿着x轴趋于(0,0)时,极限为零,当沿着趋于(0,0)时,极限为 二者不相等,所以极限不存在 21, 2

五、证明函数在整个xoy面上连续。

证明:当时,f(x,y)为初等函数,连续。当时,

,所以函数在(0,0)也连续。所以函数

在整个xoy面上连续。 六、设且当y=0时,求f(x)及z的表达式. 解:,

§ 2 偏导数

、设验证

,证明:

、求空间曲线在点(,,1)处切线与y轴正向夹角 x23、设求fx(x,1) ( 1) y 4、设求

, , 解: ,

、设,证明

6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续?是否可导(偏导)?说明理由 222

连续; 不存在,

7、设函数 f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,求 (2fx(a,b)) § 3 全微分 1、单选题

(1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________

(A) 必要条件而非充分条件 (B)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件

(2)对于二元函数f(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___ (A) 偏导数不连续,则全微分必不存在

(C)全微分存在,则偏导数必连续 (D)全微分存在,而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分: yyy11) 22 2)解:

11y 3)解:

3、设, 求 解:

2dy 4、设

求:

、讨论函数f(x,y

在(0,0)点处

的连续性 、偏导数、 可微性 所以f(x,y)在(0,0)点处连续。 解:

,所以可微。

§4 多元复合函数的求导法则 dzvt1、 设,求 dt

解:=cost.(sint)dt

,求, 2、 设

、 设,f 可微,证明

、 设),其中f具有二阶连续偏导数,求,,

解:

2 2

4yf111122222

5、 设

,其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数,求

解:

du 6、 设,,,求

dx

)。 解:dx

化为

, 7、设

,且变换

可把方程

其中z具有二阶连续偏导数,求常数a的值

证明:

2

得:

8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,

求 和

(a+ab+ab2+b3) § 5 隐函数的求导公式 dy

1、 设yln,求 dx

解:令, z222 2、 设由方程确定,其中f可微,证明 y

3、 设由方程所确定,其中f可微,求

又,

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