基于Matlab激光谐振腔模式模拟
激光原理课程设计
作者: 电讯4班 程再兴 20113959
——基于Matlab激光谐振腔模式模拟
一、原理分析
1.基本原理
在分析激光器工作原理的过程中，谐振腔中的模式分布占据着重要的意义。经典的研究激光谐振腔内激光模式分布及传播规律的方法是，运用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式。其关系式如式（1）：
(1) 式中，为(x’,y’)与(x,y)连线的长度，θ为S面上点(x’,y’)处的法线和上述连线之间的夹角，ds’为S面上的面积元，k为波矢的模。
一般而言，腔长比镜面的线度大很多， 近似取为2/L。同时，假定腔面的线度a远大于波长，被积函数中的不能简单的近似，我们只能根据不同几何形状的腔型来进行合理近似。于是，将公式（1）作用于开腔的两个镜面上的场分布，可以镜面S1上场与镜面S2上场联系起来，经过q次传播后，根据上述的假设有公式（2）： (2) 对于对称开腔，当光波在腔内传播足够多次后（即在稳定情况下），镜面S1上光场传播到S2，出了表示振幅衰减和相位移动常数因子外，可以再现，形成这样一种稳态场：分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布，即实现了模的“自再现”。简化后有公式（3）和（4）:
(3) (4)
2.Fox-Li数值迭代法
积分方程（3）和（4）的解通过数学证明是存在的，但是实际求解是很困难的，所以在
大多数情况下只能使用近似方法求数值解。Fox-Li数值迭代法就是运用标量近似来分析模场特性。其运用的就是迭代的思想，其迭代公式为式（3）。
此方法的基本物理解释是将初始场分布视为由无数多个本征函数以一定比例叠加的结果，不同的本征函数对应不同的模式，在腔内往返渡越过程中，不同模的衍射损耗不同，经过足够多次往返渡越后，衍射损耗大的模受到的衰减程度比衍射损耗小的模大得多，当损耗大的模的贡献与损耗小的模的贡献相比可以忽略时，剩下的便是小损耗模的稳定场分布。
二、实现方案
1.计算流程
跟据原理进行迭代计算的设计，流程图如图（1）所示。运用Matlab设计实现Fox-Li
数值迭代法程序的编写。
2.矩形腔
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以矩形腔为例，说明Fox-Li数值迭代法计算时的具体形式。设矩形平面腔边长为2a*2b，腔长为L，它们之间满足. 在上述条件下，有如式（5）的近似： 于是在菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式中的可以近似写作： （6） 所以式（3）可以作为： (7) 对于上式（7）进行变量分离，设u(x,y)=u(x)u(y),有： 选择腔型输入具体参数离散处理根据衍射积分式进行迭代 (8) 根据上述的公式在初始场分布设定的情况下就可以应用迭代的方法计算出分布情况。 否归一化显示达到迭代次数或是达到判据 3.条形腔 是条形腔是一种理想的模型，即一个方向有限长，而另结束停止一个方向上无限延伸的腔形，与矩形腔类似。由于只在长度有限的那个方向上发生衍射现象，迭代公式（5）为一维的菲涅耳—基尔霍夫衍射积分： 图1 计算流程图 （9） 将条形腔的左镜面S1上沿着(-a,a)之间划分N-1等分，则有N个点，每个区间为2a/(N-1)。右边镜面S2上每一点的求解都需将左边镜面上的点进行逐点相加，如此循环迭代下去，最终会达到稳态分布。
4.圆形腔
圆形腔的迭代思想与矩形腔相同，只是划分与矩形腔不同。圆形腔是按照径向和角向划分，在极坐标(r,θ)下完成数值迭代，但在最后显示的时候，需要将极坐标还原成笛卡尔坐标系。
5.倾斜腔
严格的平行平面腔只是一种理想情况，实际情况下出现一定的不平行性是不可避免的，这里主要考察倾斜条形腔对自再现模的影响，如图2所示：
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图2 倾斜平行平面腔的示意图
两个镜面相对其理想位置(即两镜面与其公共轴线严格垂直的位置) 沿相反方向偏离同样大小的微小角度β, 在镜的边缘处与理想位置的偏离线度δ。在δ甚小的情况下,且只考虑腔的旁轴光线,镜面上两点的距离M1′M2′与理想情况下相应两点的距离M1M2之差为:
（10） 于是有，于是衍射积分方程变为：
（11）
类似于条形腔，可以计算出倾斜条形腔的自再现模。
三、结果分析
1.矩形腔模式分布
在对于模式分布的分析中菲涅耳数占据着重要地位。其定义为Fres=a^2/L/λ。菲涅耳数是表征了衍射损耗的大小的量，菲涅尔数越大，衍射损耗越小。当谐振腔的菲涅尔数较大时，低阶模式和高阶模式的衍射损耗非常接近，高阶模在有限的迭代次数下不能有效地消除；而谐振腔的菲涅耳数比较小时，高阶模具有更高的颜色损耗，从而更能够有效地抑制高阶模振荡。
图3是fres为6.45（a分别是1mm，b是0.5mm，L是100mm，λ是1550nm）时的模式稳态分布。振幅分布达到了稳定状态，呈现出近似高斯分布；而稳定后的相位分布，曲线上的起伏较小，中间区域接近平面波分布。将具有这种特征的横模称为腔的最低阶对称模或基模，方形镜腔和圆形镜腔的基模通常以符号表示。
图3、4、5是矩形腔分别是fres为6.45、2.98、0.155（a分别是1mm、0.68mm、0.15mm，b是0.5mm，L是100mm，λ是1550nm）时的模式稳态分布。对比这几幅图，可以看出镜面中心的振幅在菲涅耳数较大时可能不是最大的；较小时，中心振幅最大。并且振幅从中心向外是振荡下降的，菲涅耳数越大振动的越厉害；菲涅耳数越小幅度曲线越平滑，更近似高斯分布，相位接近球面波分布。由于平行平面腔的基模振幅分布是高斯分布，相位分布近似于球面波分布。所以可以认为，在菲涅尔数较小的情况下，高阶模的损耗远大于基模的。
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