教学理念：将简单的方法练到极致就是绝招！
课题 利用空间向量法证明与求空间角 ——解答题篇·解题技能 一、空间向量 （一）空间向量基本定理
?????对于如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p存在唯一的有序实数组{x,y,z}，
?????使p?xa?yb?zc
（二）空间向量的坐标表示
（1）空间直角坐标系
?????????????? 设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量（称它们为正交基底），以e1,e2,e3的公???????共起点O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O?xyz。
建立空间直角坐标系要遵循“左手法则”。 （2）空间向量的坐标
???????? 对于空间任一向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP?p。 ????? 由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x,y,z}，使p?xa?yb?zc。
??????????? 我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标，记作p?(x,y,x)。
点的坐标：此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O?xyz中的坐标(x,y,x)。 （3）空间向量运算的坐标表示 ① 空间向量的坐标运算法则
???? 设a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则
?? a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)
??a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3) ??a?(?a1,?a2,?a3)(??R) ??a?b?a1b1?a2b2?a3b3
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② 空间向量平行与垂直条件
???? a//b?a??b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R) ???? a?b?a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0
③ 空间向量夹角公式
????a?b?? cosa,b??|a|?|b| ④ 空间向量长度公式
a1b1?a2b2?a3b3a?a2?a32122b?b2?b32122 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则
???? AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1) 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有
向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
????????2222|AB|?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 或 dAB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1) 这个公式也是空间中两点间的距离公式。
二、空间中点、线、面的向量表示 （1）直线的方向向量
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定。 （2）平面的向量形式
空间中平面?的位置可以由?上两条相交直线来确定。
三、平面的法向量 ??如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作n??，如?果n??，那么向量n叫做平面?的法向量。
（1）平面法向量的求法
已知平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当选取平面的一个法向量。 平面法向量的确定通常有两种方法：
① 几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；
② 几何体中没有具体的线面垂直关系，此时可以采用待定系数法求解平面法向量。
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步骤如下： 建系 ?设平面的法向量为n?(x,y,z) ????????选取平面内的两个不共线向量，不妨设为AB,AC ???????n?AB?0由?????，列出方程组 ???n?AC?0 解方程组 取x,y,z中一个为非零值（常取?1） 得到平面的一个法向量 （2）平面法向量的性质
A：平面?的一个法向量垂直于平面?共面所有向量。 B：一个平面的法向量有无限多个，它们互相平面。 （3）利用方向向量、法向量判断线面的位置关系
????? 设两不同直线l1、l2的方向向量分别是a、b，两不同平面?、?的法向量分别为m、n，则
向量间的关系 线、面间位置关系 l1图示 l2方向向量??a//b ??a?b l1//l2 ?a?a?bl1?l2 ?bl1法向量方向、法向量 l2???m//n ???m?n ???a//m ???a?m ??m?//? ?? ?n??? ??m ???a?nl1l1?? ?a ??a??m?l1//? 或l1?? ???ml1??ml13