广东省德庆县孔子中学高中数学论文《数形结合思想方法的应用》
数形结合的思想方法是中学数学的重要思想方法，应用广泛，在日常的数学教学中结合数学内容不断渗透，提高学生的抽象和概括能力，不断提高解题的效率。 一、用数学结合的思想方法解决集合问题
{x,y）︳x,y?R且x?y?1},B?（{x,y）︳x,y?R且y?4x}，则A例1 已知集合A?（∩B的元素的个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
22?x??2?5??x?y?1?分析：方法一 解方程组?， 得?2?y?4x???y???8?45222故选 C
方法二 圆x?y?1与抛物线y?4x有2个交点，故选C 很明显，解法二，直观明了，甚至想一想就可以得出答案。
例2 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛。问同时参加田径和球类比赛的有多少人？
分析：文字信息较多，学生处理起来有一定困难，如果采用韦恩图，把抽象问题直观化，则非常简单。如图所示，设同时参加田径和球类 比赛有x人，则只参加田径比赛的有5-x人， 只参加球类比赛的有11-x人。 ∴ 9+3+5-x+3+x+11-x=28 ∴ x=3 二、用数形结合的思想方法解决三角函数问题 例3 已知f(x)?sin(2x?222?3),x?[???,],求f(x)的值域。
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分析:求给定区间上的三角函数的最值或值域，是学习的难点，如果不画图象，那么思考起来很抽象，容易出错。
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Qx?[?????4??,]， ?2x??[?,],令??2x? 3233333?sin??1， 2画出函数y?sin?的图象，则易知??f(x)的值域为[-3,1]。 2例4 求下列函数的最小正周期。
（1）y?sinx?cosx （2）y?tanx
分析：（1）y?sinx?cosx?2sin(x?)，只需要画出函数y?sinx与y?tanx的图
4?象，则可知它们的最小正周期都是?。
三、用数形结合的思想方法解决解析几何问题。
例5 已知x,y?R且满足x?y?4x?3?0,求：（1）x?y的范围 （2）
2222y?1的值。 x?2分析：方程x?y?4x?3?0表示以（2,0）为圆心，r=1为半径的圆。令x?y?t，那么问题（1）转化为直线x?y?t与圆(x?2)?y?1有交点时，t的取值范围，实现“形”与“数”
22的转化。由2?0?t222。 ?1得2?2?t?2?2。同理可解得（2）
例6 求圆x?y?4x?4y?5?0的点到直线x?y?9?0的最大距离和最小距离。 分析：按一般思路，在圆上任取一点P(x,y)，则P到直线x?y?9?0的距离d?x?y?92，
采用一般函数求最值的方法，比较困难。如果画出图形容易看出，只需求圆心C（2,2）到直线
x?y?9?0的距离2?2?92?55 2 2
那么所求最大值为5555?3，最小值为?3。 22四、用数形结合的思想方法解决函数与导数问题
例7 已知f(x)?lgx?sinx 求函数f(x)的零点个数。
分析：直接解方程很困难。求f(x)的零点，即求方程f(x)?lgx?sinx=0的解。 即lgx?sinx的解，也就是函数y?lgx与y?sinx 的图象交点的个数，因此，只要在同一坐标系中 画出这两个函数的图象即可。
易知函数f(x)?lgx?sinx有3个零点。
例8 如果函数f(x)?x?3x?m有3个不同零点，求实数m的取值范围。 分析：先分析函数的单调性，画出函数的简图，根据图象来回答所求问题。
3f?(x)?3x2?3?3(x2?1)，令f?(x)?0得x??1或x?1，
令f?(x)?0得?1?x?1，故
f(x)在(??,?1)单调递增，在（-1,1）单调递减，在（1，+?）
单调递增，所以，当
x??1时，f(x)有极大值f(?1)?m?2，
当 x?1时，f(x)有极小值f(1)?m?2，
如图所示，f(x)有3个零点，需满足??f(?1)?m?2?0，??2?m?2
?f(1)?m?2?0 从以上事例看出，我们日常的数学教学，不应只重视“知识点”的教学，更应该注重对数学
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