专题限时集训(十一) 附加题部分
(对应学生用书第107页)
(限时：120分钟)
1．(本小题满分10分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：3x＝1＋t??5?4??y＝5t长．
[解] 法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4， 将曲线C的参数方程化为普通方程得y＝4x.
?4x－3y＝4，?
联立方程组?2
??y＝4x，
2
??x＝4k(t为参数)，与曲线C：?
?y＝4k?
2
(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的
4分
?x＝4，?
解得?
??y＝4，
1??x＝，
或?4??y＝－1.
?1?所以A(4,4)，B?，－1?.
?4?
25
所以AB＝.
4
法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y＝4x.
2
10分
?4?2?3?2
直线l的参数方程代入抛物线C的方程得?t?＝4?1＋t?，即4t－15t－25＝0，
?5??5?
1525
所以t1＋t2＝，t1t2＝－.
44所以AB＝|t1－t2|＝
t1＋t2
2
25
－4t1t2＝. 4
10分
2．(本小题满分10分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为
ρ＝2，ρ2－22ρcos?θ－?＝2.
4
??
π?
?
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
π??2222
[解] (1)ρ＝2?ρ＝4，所以x＋y＝4；因为ρ－22ρcos?θ－?＝2，2分
4??ππ??222
所以ρ－22ρ?cos θcos＋sin θsin?＝2，所以x＋y－2x－2y－2＝0.
44??
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
8分 6分
π?2?化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin?θ＋?＝.10分 4?2?
3．(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设n∈N，
*
f (n)＝3n＋7n－2.
(1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；
(2)证明：对任意正整数n，f (n)是8的倍数． [解] (1)代入求出f (1)＝8，f (2)＝56，f (3)＝368. (2)证明：①当n＝1时，f (1)＝8是8的倍数， 命题成立．
②假设当n＝k时命题成立，即f (k)＝3＋7－2是8的倍数， 那么当n＝k＋1时，f (k＋1)＝3
因为7＋1是偶数，所以4(7＋1)是8的倍数， 又由归纳假设知3(3＋7－2)是8的倍数， 所以f (k＋1)是8的倍数， 所以当n＝k＋1时，命题也成立． 根据①②知命题对任意n∈N成立.
4．(本小题满分10分)利用二项式定理证明：当n∈N时，3
[解] 3
n－1
22n＋2
*
2n＋2
*
2分
kkk＋1
＋7
k＋1
－2＝3(3＋7－2)＋4(7＋1)，
6分
kkkkkkk10分
－8n－9能被64整除．
n＋1
－8n－9＝9
n＋1
－8n－9＝(8＋1)
2
n＋1
－8n－9＝8
n－2
2
＋Cn＋1·8＋Cn＋1·8
n－1
1n2n－1
＋…＋
Cn＋1·8＋Cn＋1·8＋1－8n－9＝8·(8而8
n－1
nn－1
＋Cn＋1·8
*
1
＋Cn＋1·8
2n＋2
n－3
＋…＋Cn＋1)，6分
＋Cn＋1·8
1n－2
＋Cn＋1·8
2n－3
＋…＋Cn＋1∈N，所以3
n－1
－8n－9能被64整除.10分
5．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知a，b，c为正实数，
b2c2a2
求证：＋＋≥a＋b＋c.
abc【导学号：56394086】
[证明] ∵a，b，c为正实数，
b2c2a2
∴a＋≥2b，b＋≥2c，c＋≥2a，
abc将上面三个式子相加得：
4分
b2c2a2
a＋b＋c＋＋＋≥2a＋2b＋2c，
abcb2c2a2
∴＋＋≥a＋b＋c. abc10分
6．(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数f (x)＝|x＋1|－|x|＋a.
(1)若不等式f (x)≥0的解集为空集，求实数a的取值范围； (2)若方程f (x)＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围．
[解] (1)令g(x)＝|x＋1|－|x|，则f (x)≥0的解集为空集?g(x)≥－a的解集为空集?g(x)＜－a恒成立，
－1，x＜－1，??
g(x)＝|x＋1|－|x|＝?2x＋1，－1≤x＜0
??1，x≥0，
，作出函数g(x)的图象，由图可知，函数
g(x)的最大值为g(x)max＝1，所以－a＞1，即a＜－1.
综上，实数a的取值范围为(－∞，－1)．
5分
(2)在同一坐标系内作出函数g(x)＝|x＋1|－|x|图象和y＝x的图象如图所示，由题意可知，把函数y＝g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1＜a＜0.
10分
7．(本小题满分10分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图11－9，已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC. 求证：AD·BC＝2AC·CD.
图11－9
[证明] ∵∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直径， ∴AD垂直平分BC，设垂足为E(图略)， ∵∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED， ∴△ACD∽△CED， ∴
6分
ADAC1
＝，∴AD·BC＝AC·CD， CDCE2
10分
∴AD·BC＝2AC·CD.
8．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图11－10，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE＝2BE，求证：2OC＝3BC.