高考数学二轮复习专题六函数与导数、不等式第2讲基本初等函数、函数与方程学案理

第2讲 基本初等函数、函数与方程

高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质;2.以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理;3.能利用函数解决简单的实际问题.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x-2x+a(e1A.-

2

2

2

x-1

+e

-x+1

)有唯一零点,则a=( )

D.1

1B. 3

x-1

1C. 2

+e

1-x解析 f(x)=(x-1)+a(e

2

)-1,令t=x-1,

则g(t)=f(t+1)=t+a(e+e)-1. ∵g(-t)=(-t)+a(e+e)-1=g(t), ∴函数g(t)为偶函数.

∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0, 1

∴2a-1=0,解得a=.

2答案 C

1

2.(2018·天津卷)已知a=log2e,b=ln 2,c=log1,则a,b,c的大小关系是( )

23A.a>b>c C.c>b>a

B.b>a>c D.c>a>b

2

-tt-tt1

解析 c=log1=log23,a=log2e,由y=log2x在(0,+∞)上是增函数,知c>a>1.又b=

23ln 2<1,故c>a>b. 答案 D

??e,x≤0,

3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=?g(x)=f(x)+x+a.若

?ln x,x>0,?

xg(x)存在2个零

点,则a的取值范围是( ) A.[-1,0) C.[-1,+∞)

B.[0,+∞) D.[1,+∞)

1

解析 函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程

f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1. 答案 C

4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.

解析 一年的总运费与总存储费用之和为y=6×

600

x+4x=

3 600

x+4x≥2

3 600

×4x=

x3 600

240,当且仅当=4x,即x=30时,y有最小值240.

x答案 30

考 点 整 合

1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a·a=amnmnm+n;

(2)(a)=a;

(3)loga(MN)=logaM+logaN; (4)loga=logaM-logaN; (5)logaM=nlogaM; (6)alogNmnMNna=N;

logbN(7)logaN=(注:a,b>0且a,b≠1,M>0,N>0).

logba2.指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y=a(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分01两种情况,当a>1时,两函数在定义域内都为增函数,当0

3.函数的零点问题

(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数

xy=g(x)的图象交点的横坐标.

(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利

2

用两个函数图象的交点求解.

4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题建模求解反馈

.

文字语言数学语言数学应用检验作答

热点一 基本初等函数的图象与性质

【例1】 (1)(2018·郑州一模)若函数y=a(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象大致是( )

|x|

(2)(2018·济南质检)已知a(a+1)≠0,若函数f(x)=log2(ax-1)在(-3,-2)上为减函1

4,x≤,??2

数,且函数g(x)=?在R上有最大值,则a的取值范围为( )

1

??logx,x>2

x|a|

?

??C.?-?

A.?-

21?,-? 22?21?,-? 22?

|x|

1??B.?-1,-?

2??D.?-?

?2??1?,0?∪?0,2?

?2??

解析 (1)由于y=a的值域为{y|y≥1}, ∴a>1,则y=logax在(0,+∞)上是增函数, 又函数y=loga|x|的图象关于y轴对称. 因此y=loga|x|的图象应大致为选项B.

(2)∵f(x)=log2(ax-1)在(-3,-2)上为减函数,

??a<0,1

∴?∴a≤-,∵a(a+1)≠0,

2??-2a-1≥0,

1

4,x≤,??21?1?,1∴|a|∈?在R上?∪(1,+∞).当x≤2时,g(x)=4∈(0,2],又g(x)=??2?1??logx,x>2

xx|a|

1112?1?2

有最大值,则当x>时,log|a|x≤2,且|a|∈?,1?,∴log|a|≤2,∴|a|≤,则|a|≤,

2222?2?121

又a≤-,∴-≤a≤-. 222答案 (1)B (2) A

3

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