第2讲 基本初等函数、函数与方程
高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x－2x＋a(e1A.－
2
2
2
x－1
＋e
－x＋1
)有唯一零点，则a＝( )
D.1
1B. 3
x－1
1C. 2
＋e
1－x解析 f(x)＝(x－1)＋a(e
2
)－1，令t＝x－1，
则g(t)＝f(t＋1)＝t＋a(e＋e)－1. ∵g(－t)＝(－t)＋a(e＋e)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， 1
∴2a－1＝0，解得a＝.
2答案 C
1
2.(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1，则a，b，c的大小关系是( )
23A.a>b>c C.c>b>a
B.b>a>c D.c>a>b
2
－tt－tt1
解析 c＝log1＝log23，a＝log2e，由y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，知c>a>1.又b＝
23ln 2<1，故c>a>b. 答案 D
??e，x≤0，
3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝?g(x)＝f(x)＋x＋a.若
?ln x，x>0，?
xg(x)存在2个零
点，则a的取值范围是( ) A.[－1，0) C.[－1，＋∞)
B.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
1
解析 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程
f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1. 答案 C
4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
解析 一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×
600
x＋4x＝
3 600
x＋4x≥2
3 600
×4x＝
x3 600
240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.
x答案 30
考 点 整 合
1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a·a＝amnmnm＋n；
(2)(a)＝a；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN； (4)loga＝logaM－logaN； (5)logaM＝nlogaM； (6)alogNmnMNna＝N；
logbN(7)logaN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).
logba2.指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝a(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0 3.函数的零点问题 (1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数 xy＝g(x)的图象交点的横坐标. (2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利 2 用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题建模求解反馈 . 文字语言数学语言数学应用检验作答 热点一 基本初等函数的图象与性质 【例1】 (1)(2018·郑州一模)若函数y＝a(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( ) |x| (2)(2018·济南质检)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函1 4，x≤，??2 数，且函数g(x)＝?在R上有最大值，则a的取值范围为( ) 1 ??logx，x>2 x|a| ? ??C.?－? A.?－ 21?，－? 22?21?，－? 22? |x| 1??B.?－1，－? 2??D.?－? ?2??1?，0?∪?0，2? ?2?? 解析 (1)由于y＝a的值域为{y|y≥1}， ∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称. 因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B. (2)∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数， ??a<0，1 ∴?∴a≤－，∵a(a＋1)≠0， 2??－2a－1≥0， 1 4，x≤，??21?1?，1∴|a|∈?在R上?∪(1，＋∞).当x≤2时，g(x)＝4∈(0，2]，又g(x)＝??2?1??logx，x>2 xx|a| 1112?1?2 有最大值，则当x>时，log|a|x≤2，且|a|∈?，1?，∴log|a|≤2，∴|a|≤，则|a|≤， 2222?2?121 又a≤－，∴－≤a≤－. 222答案 (1)B (2) A 3