数学思想专练(四) 转化与化归思想
题组1 正与反的相互转化
1．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是( ) A．(－∞，1) C．1
B．(－∞，2) D．2
C [命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e
|x－1|
－m＞0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－
∞，1)为同一区间，故a＝1.]
2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) 1
A. 5C.
7
10
3B． 59D． 10
19
D [甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－＝.]
10103．若二次函数f(x)＝4x－2(p－2)x－2p－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得
2
2
f(c)＞0，则实数p的取值范围为________.
?f－1≤0，?－3，3? [如果在[－1,1]内没有值满足f(c)＞0，则????2????f1≤0
?
??
?3p≤－3或p≥??2
的取值范围．
p≤－或p≥1，
1
2
33
?p≤－3或p≥，取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p22
3??故实数p的取值范围为?－3，?.]
2??
4．若椭圆＋y＝a(a＞0)与连接两点A(1,2)，B(3,4)的线段没有公共点，则实数a的取值
2范围为________．
x2
22
?32??82??0，?∪?，＋∞? [易知线段AB的方程为y＝x＋1，x∈[1,3]，
2??2??
1 / 5
y＝x＋1，??2由?x22
＋y＝a，??2
9241∴≤a≤. 22
322
得a＝x＋2x＋1，x∈[1,3]，
2
3282
又a＞0，∴≤a≤.
22
?32??82?
故当椭圆与线段AB没有公共点时，实数a的取值范围为?0，?∪?，＋∞?.]
2??2??
x2y2
5．已知点A(1,1)是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋
ab|AF2|＝4.
(1)求椭圆的两焦点坐标；
(2)设点B是椭圆上任意一点，当|AB|最大时，求证：A，B两点关于原点O不对称.
x2y2
[解] (1)由椭圆定义，知2a＝4，所以a＝2.所以＋2＝1．
4b114xy2
把A(1,1)代入，得＋2＝1，得b＝，所以椭圆方程为＋＝1．
4b344
3
4826222
所以c＝a－b＝4－＝，即c＝.
333
2
2
2分
4分
?26??26?
故两焦点坐标为?－，0?，?，0?．
?3??3?
6分
(2)证明：假设A，B两点关于原点O对称，则B点坐标为(－1，－1)，7分
此时|AB|＝22，而当点B取椭圆上一点M(－2,0)时，则|AM|＝10，所以|AM|>|AB|．
10分 12分
从而知|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立． 题组2 函数、方程、不等式之间的转化
6．若函数f(x)＝x－tx＋3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是( )
51??A.?－∞，? 8??C.?
B．(－∞，3] D．[3，＋∞)
2
32
?51，＋∞? ?
?8?
C [f′(x)＝3x－2tx＋3， 由于f(x)在区间[1,4]上单调递减， 则有f′(x)≤0在[1,4]上恒成立，
2 / 5
3?1?2
即3x－2tx＋3≤0，即t≥?x＋?在[1,4]上恒成立，
2?x?3?1?因为y＝?x＋?在[1,4]上单调递增，
2?x?3?1?51
所以t≥?4＋?＝，
2?4?8故选C.]
7．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)单调递增，则不等式f(x＋1)＞f(1－2x)的解集为________.
(－∞，0)∪(2，＋∞) [∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(x)是偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又∵f(x)是偶函数，∴不等式f(x＋1)＞f(1－2x)可化为
f(|x＋1|)＞f(|1－2x|)，∴|x＋1|＜|1－2x|，∴(x＋1)2＜(1－2x)2，解得x＜0或x＞2，故原不等式的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．]
8．(本小题满分12分)设a为实数，函数f(x)＝e－2x＋2a，x∈R，
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，e＞x－2ax＋1成立. [解] (1)由f(x)＝e－2x＋2a，x∈R 知f′(x)＝e－2，x∈R． 令f′(x)＝0，得x＝ln 2．
xxx2
x
1分 2分
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，ln 2) － 单调递减 ln 2 0 2－2ln 2＋2a (ln 2，＋∞) ＋ 单调递增 3分
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 单调递增区间是(ln 2，＋∞)，5分
4分
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，
极小值为f(ln 2)＝e
ln 2
－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a，无极大值．
2
6分
(2)证明：设g(x)＝e－x＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝e－2x＋2a，x∈R.7分 由(1)知当a＞ln 2－1时，
xxg′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0．
于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0， 所以g(x)在R上单调递增.
8分
9分
3 / 5