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期末总复习题
一、填空题
1、已知向量a?i?j?2k，b?2i?j?k，则a?b= -1 。 2、曲线z?x2绕z轴旋转所得曲面方程为 z=x2 + y2 。
?3、级数???1?1?n?的敛散性为 发散 。
n?1?n3?4、设L是上半圆周x2?y2?a2（y?0），则曲线积分?1?2?y2ds= Lxa05．交换二重积分的积分次序：?02?1dy?1?yf(x,y)dx＝
?21dx?1-xf(x,y)dy
?6．级数?1的和为 1 n?1n(n?1) 。
二、选择题
1、平面(x?1)?3y?(z?1)?0和平面(x?2)?(y?1)?2z?0的关系 （ B ）
A、重合 B、平行但不重合 C、一般斜交 D、垂直
2. 下列曲面中为母线平行于z轴的柱面的是 （ C ）
A、x2?2z2?1 B、y2?2z2?1 C、x2?2y2?1 D、x2?2y2?z2?1 33. 设D:x2?y2?4(y?0),则??xln(x2?y2?1)x2?y2?1dxdy?（ A ） DA、2? B、0 C、1 D、4?
4、设D:x2?y2?4(y?0)，则??dxdy?（ A ）
DA、16? B、4? C、8? D、2?
5、函数z?50?x2?4y2在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A A、?2i?16j B、?2i?16j C、2i?16j D、2i?16j 6
、
微
分
方
程
(y?2??)y2(??)y的?阶0数为 （ B ）
A、1 B、2 C、4 D、6
7．下列表达式中，微分方程y???4y?3y?0的通解为 1
）
2
（ D ）
A、y?ex?e3x?C B、y?ex?Ce3x C、y?Cex?e3x D、y?C1ex?C2e3x 8
．
limun?0n??为无穷级数
?unn?1?收敛的
（ B ）
A、充要条件 B、 必要条件 C、充分条件 D、什么也不是
三、已知a?1，b?3，a?b，求a?b与a?b的夹角.P7
解：?a?b ?ab?02 a?b?（a?b）?(1?0?3)?2???????? a - b?(a?b)2?(1?0?3)?2 (a?b)(a?b)?1?3??2cos??(a?b)(a?b)21 ???a?b?a-b42 ???120O解：设平面方程为Ax?By?Cz?D?0 依题可得D?0， -2A?B?3C?0 又?n?1，-4，5 ?A-4B?5C?0 故有：47x?13y?z?0四、一平面垂直于平面
x?4y?5z?1?0且过原点和点
??2,7,3?，求该平面方程.（参考课
本P7例题）
五、设z?uev,u?x2?y2,v?xy,求
解：由全微分方程的不变性，得?z?zdz?du?dv?u?v?evdu?uevdv ?exyd(x2?y2)?(x2?y2)exyd(xy)?exy(2xdx?2ydy)?(x2?y2)exy(ydx?xdy)?exy(2x?x2y?y3)dx?exy(x3?2y?xy2)dy进而可得?z?z?exy(2x?x2y?y3)， ?exy(x3?2y?xy2)?x2 ?y 3
dz,?z?z,. P19 ?x?y
六、求由xyz?sinz所确定的函数z?z?x,y?的偏导数
解：由xyz?sinz得xyz?sinz?0?z?z两边对x求偏导数得：cosz?yz?xy?0?x?x
?zyz解得：??xcosz?xy?z?z两边对y求偏导数得：cosz?xz?xy?0?y?y?zxz解得：??ycosz?xy?z?z, ?x?y
七、求旋转抛物面z?2x2?2y2在点M0??1,,2?处的切平面和法线方程.
解：令f(x,y)?2x2?2y2,则：fx?(x,y)?4x,fy?(x,y)?4y所以：n??4x,4y,?1?,nM???4,2,?1?0??12??故曲面在点M0处的切面方程式为： ?4(x?1)?2(y?1)?(z?2)?02即：4x?2y?z?3?012?z?22?1
x?1法线方程式为：??4x?12y?1即：??z?24?4y?
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