(3)恒为零向量.
24.设f(x,y)可微,L是R2上的一个确定向量,倘若处处有fL(x,y)0,试问此函数f有何特征? 25.求下列函数的高阶偏导数:
(1) Z=x4+y4－4x2y2,所有二阶偏导数; (2) Z=ex(cos y+x sin y),所有二阶偏导数;
?3z?3z(3) Z=xln(xy),,;
?x2?y?x?y2(4) u=xyze
x+y+z
?p?q?zu,; pqr?x?y?z(5) Z=f(xy2,x2y),所有二阶偏导数; (6) u=f(x2+y2+x2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,
x),zx, zxx, Zxy. y26.求下列函数在指定点处的泰勒公式: (1) f(x,y)=sin(x2+y2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=
x在点(1,1)(到三阶为止); y(3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);
(4) f(x,y)=2x2―xy―y2―6x―36+5在点(1,－2). 27.求下列函数的极值点: (1) Z=3axy―x3―y3 (a>0); (2) Z=x2+5y2―6x+10y+6; (3) Z=e2x(x+y2+2y).
28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值. (1) Z=x2?y2,?x,y?x+y2?4；
2??(2) Z=x2?xy?y2,?x,y?x?y?1;
(3) Z=sinx+sing－sin(x+y),?x,y??x,y?x?0,x?y?2?
????29.在已知周长为2P的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.
30.在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y－16=0的距离平方和最小. 31.已知平面上n个点的坐标分别是
A1?x1,y1?,A2?x2,y2?,…An?xn,yn?.
试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小.
1 1 1 y z32.设 u= x x2 y2 z2求(1)ux+uy+uz; (2)xux+yux+zuz; (3)uxx+uyy+uzz.
33.设f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、 三、考研复习题
1. 设f(x,y,z)=x2y+y2z+z2x,证明 fx+fy+fz=(x+y+z)2. 2. 求函数
?x3?y322,x?y?0?22f(x,y)??x?y在原点的偏导数fx(0,0)与fy(0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微
?0,x2?y2?0?性.
1 1 ? 1x1 x2 ? xn23. 设 u?x1 x2? x22 n
????n?1?1?1x1 xn? nx2 n?u证明: (1)??0; (2)
k?1?xknn?xkk?1n?un(n?1)?u. ?xk24. 设函数f(x,y)具有连续的n阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n阶导数
dng(t)???????h?kf(a?ht,b?kt). n??dt?y???x?2? ?x f ? y求2. 5. 设 ?(x,y,z)?d?z e?xg?y h ? z k ?xa?x b ? y c ? z?3Φ g2(y) g3(y)求6. 设 Φ(x,y,z)?g1(y).
?x?y?zh1(z) h2(z) h3(z)7. 设函数u=f(x,y)在R2上有uxy=0,试求u关于x,y的函数式.
8. 设f在点p0(x0,y0)可微,且在p0给定了n个向量Li(i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为
f1(x) f2(x) f3(x)2π，证明 n?fi?1nLi(p0)?0.
9. 设f(x,y)为n次齐次函数,证明
??????x?yf?n(n?1)?(n?m?1)f. ??x??y??10. 对于函数f(x,y)=sin
my,试证 x??????x?y??x?f=0. ?y??m