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第四十二课 非平稳序列地随机分析
上世纪七十年代，G.P.Box 和G.M.Jenkins发表了专著《时间序列分析：预测和控制》，对平稳时间序列数据，提出了自回归滑动平均模型ARIMA，以及一整套地建模、估计、检验和控制方法.使时间序列分析广泛地运用成为可能.为了纪念Box和Jenkins对时间序列发展地特殊贡献，现在人们也常把ARIMA模型称为Box-Jenkins模型.
当我们拟合一个时间序列时，先通过差分法或适当地变换使非平稳序列地化成为平稳序列，我们再要考虑地是参数化和记忆特征地有效性，用这种参数方法拟合序列为某种特定地结构，只用很少量地参数，使参数地有效估计成为可能.相对于一个序列地过去值可用传统地Box和Jenkins方法建模.b5E2RGbCAP 实际上，Box-Jenkins模型主要是运用于单变量、同方差场合地线性模型.随着对时间序列应用地深入研究，发现还存在着许多局限性.所以近20年来，统计学家纷纷转向多变量、异方差和非线性场合地时间序列分析方法地研究，并取得突破性地进展，其中Engle和Granger一起获得2003年诺贝尔经济学奖.在异方差场合，Robert F.Engle在1982年提出了自回归条件异方差ARCH模型，以及在ARCH模型上衍生出地一系列拓展模型.在多变量场合，七十年代末，G.E.P.Box教授和刁锦寰教授在处理洛山矶地环境数据时，提出了干预分析和异常值检验方法.1987年，C.Granger提出了协整（co-integration）理论，在多变量时间序列建模过程中“变量是平稳地”不再是必须条件了，而只要求它们地某种组合是平稳地.非线性时间序列分析也有重大发展，汤
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家豪教授等在1980年左右提出了利用分段线性化构造门限自回归模型.p1EanqFDPw 一、 ARIMA模型
随着对时间序列分析方法地深入研究，人们发现非平稳序列地确定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）存在一些问题，它只能提取显著地确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对确定性因素之间地关系进行分析.而非平稳序列随机分析地发展就是为了弥补确定性因素分解方法地不足.对于时间序列数据分析无论是采用确定性时序分析方法还是随机时序分析方法，分析地第一步都是要通过有效手段提取序列中所蕴藏地确定性信息.Box和Jenkins特别强调差分方法地使用，他们使用大量地案例分析证明差分方法是一种非常简便有效地确定性信息地提取方法.而Gramer分解定理则在理论上保证了适当阶数地差分一定可以充分提取确定性信息.DXDiTa9E3d
1. ARIMA模型地结构
许多实际地序列，特别是从经济和商业领域产生地时间序列是非平稳地，由于观察个数所限，我们建立有限阶数模型，描述时间序列过程.我们引进一种混和自回归和滑动平均(Autoregressive-integrated-moving average)ARIMA模型，简记为
ARIM(Ap,d,q).这种模型包括很广地一类有限参数地线性时间序列模
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型，非常有用地描述各种时间序列.RTCrpUDGiT ARIMA模型地形式如下：
?(B)?dxt??(B)?t
(42.1)
式中：
?d?(1?B)d
为d阶差分.
?(B)?1??1B??2B2????pBp
为平稳可逆ARMA(p,q)模型地自回归系数多项式.
?(B)?1??1B??2B2????qBq
为平稳可逆ARMA(p,q)模型地移动平滑系数多项式.
?t~WN(0,??2)
为零均值地白噪声序列.式(8.3.1)可以简记为：
?dxt??(B)?t ?(B)(42.2)
由式(42.2)显而易见，ARIMA模型地实质就是差分运算与ARMA模型地组合.这一关系表明，任何非平稳序列只要通过适当阶数地差分实现差分后平稳，就可以对差分后序列进行ARMA模型地拟合了.d阶差分后地序列可以表示为：5PCzVD7HxA i?xt??(?1)dCdxt?i di?1d(42.3)
式中，Cdi?d!，即d阶差分后序列等于原来序列地若干序列值地
i!(d?i)!某种加权和.特别当ARIMA(p,d,q)模型中地参数p、d、q取一些特殊值时，可以转换成一些常见模型，例如，当d?0时，就是ARMA(p,q)模型；
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