【参考借鉴】中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解.doc

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f?x1??f?x2????f?xn???m,M???m1,M1?,由介值定理,必存在???a,b?,使

nf?x1??f?x2????f?xn?得f????。

na?上至少存在一点?,使 ★★9.设f?x?在?0,2a?上连续,且f?0??f?2a?,证明:在?0,f????f???a?。

知识点:零点定理。

思路:从结论的形式中分析找到对应的函数:f?x??f?x?a?,以及对应的闭区间?0,个验证函数在此区间上满足零点定理的条件。

a?,然后逐

证明:令F?x??f?x??f?x?a?,当x??0,a?时,x?a??a,2a?,由函数f?x?在

?0,2a?上连续,故f?x?在?0,a?上连续,f?x?a?在?0,a?上连续,故F?x?在?0,a?上连 续,且F?0??f?0??f?0?a??f?2a??f?a?,F?a??f?a??f?2a?,

Ⅰ:当f?a??f?2a?时,取??a,则f????f???a?,???0,a?,此时结论成立;

f?a??f?2a?时,F?0?F?a????f?a??f?2a???0,则由零点定理得,存在???0,a?

使得F????0,即f????f???a?;此时结论成立;

Ⅱ:当

2综上,结论成立。

总习题一

★1.求函数

y?3?x?arcsin3?2x的定义域: 5知识点:函数定义域。

3?x?0,??x?3,?3?2x解:由其表达式有?????1?x?3 ?1??1??1?x?4?5??x?★2.设函数f(x)的定义域是?0,1?,求f??的定义域。

x?1??知识点:复合函数的定义域。

解:由已知f(x)的定义域是?0,1?,故对f?xx?x???0,1?,即0??1,解得 ?有:

x?11?x?x?1??x?x??0,???,所以f??的定义域为?0,???

?x?1?2★3.设y?x,要使当x?U?0,??时,y?U?0,2?,应如何选择邻域U?0,??的半径?知识点:函数及邻域定义。

围。

思路:由函数值范围y?U?0,解:要使y?U?0,须取?2?,解出x的最大范围;?取值使U?0,??不超过这个最大范

2?,即x2?U?0,2?,即?2?x2?2,只须?2?x?2,此时只

选取不是唯一的,只要选比

是奇函数

?2即可(?2小的正数保证x2?U?0,2?即可)

★4.证明

f?x??1?x2?x?11?x?x?12?x?R?。

知识点:函数奇偶性;

思路:按定义只需证f?x??f??x??0即可;

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解:函数定义域为R,f?x??f??x??1?x2?x?11?x?x?122?1?x2?x?11?x?x?12

?(1?x2?x?1)1?x2??x?1??1?x2??x?1?1?x2??x?1?(1?xf?x???f??x?,是奇函数;

2????1?x)?1?x?1?x????

?0,故

★★5.设函数

试证:y?f(x) f(x),x????,???的图形关于x?a,x?b均对称?a?b?,

是周期函数,并求其周期。

知识点:周期函数定义,及对称图形的性质

思路:如若函数图形关于x?a对称,则f?x?a??f?x?a? 解:f?x??f?a??x?a??,由函数图形关于x?a对称知,

f?a??x?a???f?a??x?a???f?2a?x?,而f?2a?x??f?b??2a?x?b??,由函数图 形关于x?b对称,则f?b??2a?x?b???f?b??2a?x?b???f?2b?2a?x?, f?x??f?x?2b?2a?;则y?f(x)是周期函数,且其周期T?2b?2a; ★★6.设f(x)在?0,???上有意义,0?x1,0?x2,求证:

f?x?(1)若单调减少,则f?x1?x2??f?x1??f?x2?; xf?x?(2)若单调增加,则f?x1??f?x2??f?x1?x2?。 x知识点:单调性 思路:因为题中涉及x1,x2,x2?x1三者对应函数值的关系,故可按单调性比较它们的大小

f?x?解:(1)?0?x1,0?x2,∴x1?x1?x2,x2?x1?x2;又?单调减少, xf?x1?x2?f?x1?f?x1?x2?f?x2?f?x1?x2????x2?f?x2?, ∴,,∴x1?x2x1x1?x2x2x1?x2f?x1?x2??x1?f?x1?,两式相加化简得:f?x1?x2??f?x1??f?x2?; x1?x2(2)同理可证。

★★7.求下列函数的反函数:

?x,???x?11?1??2(1)y??x??,?x?1?;(2)y??x,1?x?2。

2?x??3x,2?x???知识点:求分段函数的反函数

思路:从函数中解出x即可,需注意范围的对应 解:(1)y?1?1?2?x???x?2xy?1?0, 2?x?y2?1,且x?y?y2?1。

由韦达定理,上式有实解当且仅当当

y?1时,0?y?y2?1?1,与x范围不符,故x?y?y2?1舍掉;

2y??1,?1?y?y2?1?0(可分别验证),故x?y?y?1舍掉;

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2??y?y?1,y?1综上,x??,按习惯将自变量用x来记,所求函数的反函数为

2y??1??y?y?1,2??x?x?1,x?1。 y??2x??1??x?x?1,?x,???x?1?y,???y?1?2?1?y?4,则所求函数的反函数为 (2)y??x,1?x?2?x??y,?3x,2?x???logy,9?y????3??x,???x?1?y??x,1?x?4

?logx,9?x????322★8.求函数f(x)的表达式:f?sinx??cos2x?tanx,0?x?1。

知识点:复合函数定义

思路:用三角公式将等式右端表达为sinx的函数,即可求得f(x)

2sin2x解:fsinx?cos2x?tanx?fsinx?1?2sinx? 2cosxsin2x2?1?2sinx? 21?sinxt12令sinx?t,得f?t??1?2t???2t?,0?t?1;

1?t1?t1故f?x???2x?,0?x?1;

1?x?1?★★9.设f?x?满足方程:af?x??bf????sinx,?a?b?,求f(x)。

x??2222????知识点:函数定义

思路:已知等式对任意x成立,自然对x?也成立

1t1?1??1??sinx?af??bft??sin?????t?x??t?1?1?用何字母表示无关,①可化为af????bf?x???sin,则解方程组

x?x???1?afx?bf??????sinx?1?1???x?asinx?bsin得:f?x??2?? ?2x?a?b??af??1??bf?x???sin?1???????x???x?解:令x??,则af?x??bf??★10.设函数

1t①,由函数自变量与

f(x)?ex2x2,

f???x???1?x,且??x??0,求??x?及其定义域;。

?2?x?知识点:函数的复合; 解:f(x)?e?f???x???e,则e?2?x??1?x,解得:?2?x??ln?1?x?,由??x??0,

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知,??x??★11.设

?ln?1?x??0?1?x?1?x?0; ln?1?x?;显然??x?的定义域为?1?x?0??1,x?1?f?x???0,x?1,g?x??ex,求f?g?x??,g?f?x??,并做出图形:

??1,1?x?知识点:分段函数的复合; 思路:在对应的范围内代入即可;

x?e?11,x?0?1,?????0ex?1?f?g?x????0,x?0??1,??1,0?x, x?1?e??解:

f?g?x???fex??

y y 1 e x 1 ?1 0 图1-11(1) e?1 x ?1 0 1 图1-11(2) ?e,x?1?g?f?x????1,x?1,

?e?1,1?x?★★12.设

g?x??0,则f?f?x???f?0??0,f?g?x???f?0??0,

g?f?x???g?0??0,g?g?x???g?0??0;

22当x?0时,f?x??x,g?x???x,则f?f?x???f?x??x,f?g?x???f??x??0

解:当x?0时,f?0??0,g?f?x??。

x?0?0,?0,x?0,g?x???,求f?f?x??,g?g?x??,f?g?x??, f?x???2x?0x,x?0???x,g?f?x???g?x???x2,g?g?x???g?x2?0;

??x?0?0,?0,x?0,f?g?x???0,g?f?x????;g?g?x???0; f?f?x????2?x,x?0??x,x?0111????2★★13.xn?,求limxn。

n??3154n?1故

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