第1章 最优化问题的基本概念
§1.1最优化的概念
最优化就是依据最优化原理和方法，在满足相关要求的前提下，以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。 §1.2最优化问题的数学模型
1.最优化问题的一般形式
?findx1,x2,?,xn?minf(x,x,?,x)?12n ?
s.t.g(x,x,?,x)?0u?1,2,?,pu12n??hv(x1,x2,?,xn)?0v?1,2,?,q? 2.最优化问题的向量表达式
?findX?minf(X)? ?
s.t.G(X)?0??H(X)?0?式中：X?[x1,x2,?,xn]T
G(X)?[g1(X),g2(X),?,gp(X)]T H(X)?[h1(X),h2(X),?,hp(X)]T
3.优化模型的三要素
设计变量、约束条件、目标函数称为优化设计的三要素！
设计空间：由设计变量所确定的空间。设计空间中的每一个点都代表一个设计方案。 §1.3优化问题的分类
按照优化模型中三要素的不同表现形式，优化问题有多种分类方法： 1按照模型中是否存在约束条件，分为约束优化和无约束优化问题 2按照目标函数和约束条件的性质分为线性优化和非线性优化问题 3按照目标函数个数分为单目标优化和多目标优化问题
4按照设计变量的性质不同分为连续变量优化和离散变量优化问题
第2章 最优化问题的数学基础
§2.1 n元函数的可微性与梯度
一、可微与梯度的定义
1.可微的定义
设f(X)是定义在n维空间Rn的子集D上的n元实值函数，且X0?D。若存在n维向量L，对于任意n维向量P，都有
f(X0?P)?f(X0)?LTPlim?0 P?0P则称f(X)在X0处可微。
2.梯度
设有函数F(X)，X?[x1,x2,?,xn]T，在其定义域内连续可导。我们把F(X)在定义域内某点X处的所有一阶偏导数构成的列向量，定义为F(X)在点X处的梯度。记为：
??F?F?F?k?F(X)??,,?,?
?x?x?x2n??1T梯度有3个性质：
⑴函数在某点的梯度方向为函数过该点的等值线的法线方向； ⑵函数值沿梯度方向增加最快，沿负梯度方向下降最快； ⑶梯度描述的只是函数某点邻域内的局部信息。 §2.2极小点及其判别条件 一、相关概念
1.极小点与最优解
设f(X)是定义在n维空间Rn的子集D上的n元实值函数，若存在X*?D及实数
??0，使得?X?N(X*,?)?D(X?X*)都有f(X*)?f(X)，则称X*为f(X)的局部
极小点；若f(X*)?f(X)，则称X*为f(X)的严格局部极小点。
若?X?D，都有f(X*)?f(X)，则称X*为f(X)的全局极小点，若f(X*)?f(X)，则称X*为f(X)的全局严格极小点。
?findX?minf(X)?对最优化问题?而言
s.t.G(X)?0??H(X)?0? 满足所有约束条件的向量X?[x1,x2,?,xn]T称为上述最优化问题的一个可行解，全体可行解组成的集合称为可行解集。在可行解集中，满足： f(X*)?minf(X)的解称为优化问题的最优解。
2.凸集和凸函数
凸集：设D?Rn，若对所有的X1、X2?D，及??[0,1]，都有?X1?(1??)X2?D，则称D为凸集。
凸函数：设f:D?Rn?R1，D是凸集，如果对于所有的X1、X2?D，及??[0,1]，都有f[?X1?(1??)X2]??f(X1)?(1??)f(X2)，则称f(X)为D上的凸函数。 二、局部极小点的判别条件
驻点：设f(X)是定义在n维空间Rn的子集D上的n元实值函数，X*是D的内点，若?f(X*)?0，则称X*为f(X)的驻点。
局部极小点的判别：设f(X)是定义在n维空间Rn的子集D上的n元实值函数，具有连续的二阶偏导数。若X*是f(X)的驻点，且?2f(X*)是正定矩阵，则X*是f(X)的严格局部极小点。 三、全局极小点的判别 1.凸规划
?minf(X) 对于优化问题：?
s.t.g(X)?0i?1,2,?,pi?若f(X)、gi(X)都是凸函数，则称该优化问题为凸规划。 2.全局极小点的判别
若优化问题为凸规划，则该优化问题的可行集为凸集，其任何局部最优解都是全局最优解。（能否证明）
第3章 无约束优化方法
§3.1下降迭代算法及终止准则 一、数值优化方法的基本思想
?k基本思想就是在设计空间内选定一个初始点X，从该点出发，按照某一方向S（该
k方向的确定原则是使函数值下降）前进一定的步长?k，得到一个使目标函数值有所下降的新设计点Xk?1，然后以该点为新的初始点，重复上面过程，直至得到满足精度要求的最优点X*。
该思想可用下式表示：Xk?1?Xk??kSk 二、迭代计算的终止准则
工程中常用的迭代终止准则有3种：
⑴点距准则
相邻两次迭代点之间的距离充分小时，迭代终止。 数学表达为：Xk?1?Xk?? ⑵函数下降量准则（值差准则）
相邻两次迭代点的函数值之差充分小，迭代终止。 数学表达为：f(Xk?1)?f(Xk)?? ⑶梯度准则
目标函数在迭代点处的梯度模充分小时，迭代终止。 数学表达为：?f(Xk?1)?? 三、算法的收敛速度
对于某一确定的下降算法，其优劣如何评价？人们通常采用收敛速度来评价。 下面给出度量收敛速度的几个概念。 1.P阶收敛
设序列?Xk?收敛于解X*，若存在常数P?0及L、k0，使当k?k0时下式：
Xk?1?X*?LXk?X*
p成立，则称?Xk?为P阶收敛。 2.线性收敛
设序列?Xk?收敛于解X*，若存在常数k0、L及??(0,1)，使当k?k0时下式：
Xk?1?X*?L?k
成立，则称?Xk?为线性收敛。 3.超线性收敛
设序列?Xk?收敛于解X*，若任给??0都存在k0?0，使当k?k0时下式：
Xk?1?X*??Xk?X*
成立，则称?Xk?为超线性收敛。 §3.2一维最优化方法 一、确定初始区间的进退法
任选一个初始点x0和初始步长h，由此可确定两点x1?x0和x2?x1?h，通过比较这两点函数值f(x1)、f(x2)的大小，来决定第三点x3的位置。比较这三点函数值是否呈“高——低——高”排列特征，若是则找到了单峰区间，否则向前或后退继续寻求下一点。
进退法依据的基本公式：
x1?x0