概率论与数理统计（复旦第三版）
习题一 答案
1．略.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A，B，C都发生；
（3） A，B，C至少有一个发生； （4） A，B，C都不发生； （5） A，B，C不都发生；
（6） A，B，C至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC
（3）A?B?C (4) ABC=A?B?C (5) ABC (6) ABC∪ABC∪ABC∪ABC =AB?BC?AC 3.略.见教材习题参考答案
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]
=1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P(AB)?P(A)?0.6,P(AB)取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.3,P(AB)取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，
P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P（AB）=P（BC）=0，所以P(ABC)=0，
由加法公式可得
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
=
11113++?= 4431247.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率
是多少？
【解】 设A表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”，
135332则样本空间?中样本点总数为 n?C52, A中所含样本点 k?C13,所求概率为 C13C13C135332P(A)=C13C13C13C13/C1352
8.对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=
15 1=（）（亦可用独立性求解，下同） 577（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
6565
P（A2）=5=()
77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1?P(A1)=1?(
15
) 79.略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n （2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的. A中所含样本点 【解】（1）n件是同时取出, 样本空间?中样本点总数为CnN, mn?mn?mnk?CMCN?M，所求概率为 ；P(A)=CmMCN?M/CN n(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有AN种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正 mn?m品中取m件的排列数有AM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为AN?M种， 故 mn?mCmAAP(A)?nMnN?M AN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 n?mCmMCN?M P(A)?CnN可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序， mm次取得正品，都有M种取法，共有M种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有(N?M)n?m种取法，故 mn?mP(A)?Cm/Nn nM(N?M)m此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为 M，则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??NN????mn?m 11.略.见教材习题参考答案. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆 钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ A中所含样本点 【解】设A={发生一个部件强度太弱},样本空间?中样本点总数为C350, 3313，因此，所求概率为 P(A)?C1k?C10C310C3/C50?1 196013.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互不相容. 样本空间?中样本点总数 213为n=C33中所含样本点数为 C4， 7， A2中所含样本点数为 C4C3，A 1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3? C73522 35故 所求概率为 P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)?14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）注意到A1,A2相互独立，所求概率为 (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1） 问正好在第6次停止的概率； （2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 【解】（1） 设A表示“正好在第6次停止”，B表示“第5次出现正面”，事件A发生意味着“前5次中恰好出现两次正面，且第六次出现正面”，事件AB发生意味着“前4次中恰好出现1次正面，且第五、六次出现正面”，由伯努利概型公式可知，所求概率为 11311C1()()4P(AB)52121312222?2 ?（1）P(A)?C5()() (2) P(BA)??P(A)5/3252223216.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球 数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,三次投篮可以看做是3重伯努利试验，由伯努利概型公式可知，所求概率为 212P(?AiBi)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? i?0322 C3(0.7)2?0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3 =0.32076 17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】 设A 表示“4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双”，从5双不同的鞋子中任取4只， 4取法总数为C10,A 表示“4只鞋子中没有配对的鞋子”，A中所含基本事件数 41111为C5C2C2C2C2, 所求概率为 41111C5C2C2C2C213P(A)?1?P(A)?1?? 4C102118.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}. （1） P(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7 19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男 为女是等可能的）. 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故 P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/876 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. P(BA)?20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是