??x?ax?b a?x?b 无解 大小小大中间找 大大小小则无解 x?ax?b (四)一元一次不等式(组)解决实际问题
解题的步骤:
⑴审题,找出不等关系→ ⑵设未知数→ ⑶列出不等式(组)→ ⑷求出不等式的解集→ ⑸找出符合题意的值→ ⑹作答。
二、解题技巧
一、有解无解问题:
x?a(1)x?bx?a(3)x?b??????x?a有解:a?b无解:a?b(2)x?b
???有解:a?b无解:a?b
有解:a?b无解:a?b
2、特征解问题:
解题步骤:把原式中的要求的量(以下简记为m) 当作已知数,去解原式——→得到原式的解(含m)——→根据解的特征列出式子(关于m的式子)——→解出m的值。
例:已知a?x?2x?1的解集为x?1,求a的值。 解:解不等式a?x?2x?1 ······把a当作已知数,去解原式 得x?a?1 ······得到原式的解(含a) 则a-1?1 ······根据解的特征列出式子 解得a?2 ······解出a的值
三、典题练习
x?m?11、若关于x的不等式x?2m?1有解,则m的取值范围是?若无解呢?
2x?y?1?m2、已知关于x,y的方程组x?2y?2的解满足x?y?0,求m的取值范围。
??3、适当选择a的取值范围,使1.7<x<a的整数解:
(1)x只有一个整数解; (2)x一个整数解也没有。 4、解不等式(组)
?2x?5?3x,?(1)?x?2x (2)
???3?2?2?4x?3x?7,?3x?32x?1??x,???23 ?6x?3?5x?4, (3)??3x?7?2x?3.?1[x?2(x?3)]?1.???23y?82(10?y)??1. 37(4)-5<6-2x<3 (5)y?5、若m、n为有理数,解关于x的不等式(-m2-1)x>n.
- 5 -
6、已知关于x,y的方程组??3x?2y?p?1,的解满足x>y,求p的取值范围。
?4x?3y?p?1x?b?07、已知关于x的不等式组2x?4?5的整数解共有3个,求b的取值范围。
8、已知A=2x2+3x+2,B=2x2-4x-5,试比较A与B的大小。
??3x?4?a,9、已知a是自然数,关于x的不等式组?的解集是x>2,求a的值。
x?2?0?10、某种商品进价为150元,出售时标价为225元,由于销售情况不好,商品准备降价出售,
但要保证利润不低于10%,那么商店最多降价多少元出售商品?
11、某零件制造车间有20名工人,已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件 5个,且每制造一个甲种零件可获利150元,每制造一个乙种零件可获利260元。在这 20名工人中,车间每天安排x名工人制造甲种零件,其余工人制造乙种零件。 (1)若此车间每天所获利润为y(元),用x的代数式表示y。
(2)若要使每天所获利润不低于24000元,至少要派多少名工人去制造乙种零件? 12、某学校计划组织385名师生租车旅游,现知道出租公司有42座和60座客车,42座 客车的租金为每辆320元,60座客车的租金为每辆460元。 (1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱?
(2)若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满),而且比单独租用一种车辆节省
租金,请选择最节省的租车方案。
第八章 整式乘除与因式分解
一、知识总结
(一)幂的运算:
mnm?n1、同底数幂乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。aa?a
mnm?n2、同底数幂除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减。a?a?a
3、幂的乘方:幂的乘方,底数不变,指数相乘。a??mmn?amn
4、积的乘方:积的乘方等于各因式乘方的积。?ab??ambm
注:(1)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1;a0?1 a?0 (2)任何一个不等于零的数的-p(p为正整数)指数幂,
等于这个数的p指数幂的倒数。a?p?1 a?0 ap (3)科学记数法:c??a?10n或c??a?10-n ?1?a?10?
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绝对值小于1的数可记成?a?10的形式,其中1?a?10,n是正整数,n等于原 数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)。
-n
(二)整式乘法:
1、单项式的乘法法则:单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于 只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 2、单项式与多项式的乘法法则:单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别 相乘,再把所得的积相加。
3、多项式与多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一 个多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加。
(三)、完全平方公式与平法差公式
1、完全平方公式:?a?b??a2?2ab?b2 ?a-b??a2-2ab?b2 两个数的和(或
22差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的两倍。
2、平法差公式:a2-b2??a?b??a-b? 两个数的平方之差等于这两个数的和
与这两个数的差之积。
(四)、整式除法
(1)单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式;对 于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
(2)多项式除以单项式的除法法则:单项式与多项式相除,先把多项式的每一项除以这
个单项式再把所得的商相加。
(五)、因式分解
1、定义:把一个多项式化为几个因式的乘积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项 式分解因式。
2、分解因式的基本方法:
(1)提公因式法
(2)公式法:运用完全平方公式和平法差公式 (3)对于二次三项式的因式分解的方法:
1)配方法,2)十字相乘法:公式 x??a?b?x?ab??x?a??x?b?
2 例:将x?4x?3因式分解。
方法一:配方法:原式=x?4x?4-4?3 =?x?2?-1=?x?1??x?3?
222 方法二:十字相乘法:x?4x?3=?x?1??x?3?
2 (4)分组分解法
3、分解因式的技巧:
(1) 因式分解时,有公因式要先提公因式,然后考虑其他方法; (2)因式分解时,有时项数较多时,看看分组分解法是否更简洁 (3)变形技巧:
①符号变形 Ⅰ、x-y?-?y-x? Ⅱ、当n为奇数时,?x-y??-?y-x?
nn - 7 -
Ⅲ、当n为偶数时,?x-y???y-x?
nn ②增项变形:
例:4x?1?4x?1?4x-4x?4x?4x?1-4x?? ③拆项变形:
例x?2x-1?x?x?x-1?x?x?x-1?x?x?1???x-1??x?1???
3232232224422?42?2????二、典题练习
1、计算题
(1)?a-2b???2b-a? (2)?2x??x (3)a253?? (4)am-235?a2m
(5)3?105??2?1?432???103? (6)?x?2y???-x-2y???x?2y? ?3?22、快速计算:(1)103?97 (2)102 (3)992
nm2m-n3、2?4,4?16,求2的值。
4、如果2mnx2n?64成立,那么m? ,n? 。
5、在括号内填上指数和底数
(1)8??32?2?? (2) 93??2??3?2
26、化简求值:已知x-2x?3,求?x-1???x?3??x-3???x-3??x-1?的值。 xy7、已知2x?5y?4,再求4?32的值。
228、已知a?b?3,ab?-5,求代数式的值:(1)a?b (2)?a-b?
244329、因式分解:1)x?2x-5x-6 2)x-y?ax?ay 3)a?4b
2210、比较9999?9993与9996的大小。
22m?n?62311、不解不等式组m-3n?1,求7n?m-3n?-2?3n-m?的值。
? 第九章 分 式
一、知识总结
(一)分式及其性质
1、分式
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