概率论讲义(茆诗松)

《概率论》课程教案

第二章随机变量及其分布

教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。

教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。

教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。教学时数：20学时教学过程：

§2.1 随机变量及其分布

例2.1.1 (1) 掷一颗骰子，出现的点数X：1、2、…、6； (2) n个产品中的不合格品个数Y：0、1、2、…、n； (3) 某商场一天内来的顾客数Z：0、1、2、…； (4) 某种型号电视机的寿命T：[0,??)。

§2.1.1 随机变量的概念

定义2.1.1 定义在样本空间?上的实值函数称为随机变量，常用大写X、

Y、Z等表示；随机变量的取值用小写字母x、y、z等表示。

注意：(1) 随机变量X(?)是样本点?的函数，其定义域为?，其值域为

R?(??,??)，若X表示掷一颗骰子出现的点数，则{X?1.5}是不可能事件；

(2) 若X为随机变量，则{X?k}、{a?X?b}、…均为随机事件，即：

{a?X?b}?{?:a?X(?)?b}??；

(3) 注意以下一些表达式：

{X?k}?{X?k}?{X?k} {a?X?b}?{X?b}?{X?a} {X?b}???{X?b}

(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量。两类随机变量：

若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个，则称X为离散随机变量；

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若随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b)，则称X为连续随机变量，其中a可以是??，b可以是??。前例2.1.1中的X、Y、Z为离散随机变量；而T为连续随机变量。

§2.1.2 随机变量的分布函数

定义2.1.2 设X是一个随机变量，对任意实数x，称

F(x)?p(X?x)

为随机变量X的分布函数，且称X服从F(x)，记为X~F(x)，有时也可用FX(x)表明是X的分布函数。

定理2.1.1 任一个分布函数F(x)都有如下三条基本性质：

(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(??,??)上的单调非减函数，即对任意的x1?x2，有F(x1)?F(x2)；

(2) 有界性：?x，有0?F(x)?1，且

F(??)?limF(x)?0

x???F(??)?limF(x)?1

x???(3) 右连续性：F(x)是x的右连续函数，即对任意的x0，有

x?x0?limF(x)?F(x0)

即：F(x0?0)?F(x0)。

注：(1) 上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件；

(2) 有了分布函数的定义，可以计算：

p(a?X?b)?F(b)?F(a) p(X?a)?F(a)?F(a?0) p(X?b)?1?F(b?0)等。

§2.1.3 离散随机变量的概率分布列

x2、定义2.1.3 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x1、…、xn、…，则称X取xi的概率