常微分方程期末考试练习题及答案.

解:令u?x?y,则 y=x?u,从而: 代入原方程,得:1? 整理得:

dydu?1?, dxdxduu?5?, dxu?27du?, 2?udx 分离变量得:(2?u)du?7dx,

112u?u2?7x?c 两边积分之:22,

变量回代,并整理得:x2?y2?10x?4y?2xy?c

(c是任意常数)

C.线性微分方程和常数变易法 1.形式:形如

dy?p(x)y?Q(x)的一阶方程称为一阶线性方 dx 程.当Q(x)?0时,称之为齐次的,否则称之为非齐次的. 2. 解法:利用常数变易法求解。 其解为:y?e?p(x)dx?p(x)dx(?Q(x)e?dx?c).下面用具体

的题目体现这一思想.

注意:在用公式求解一阶线性方程时,一定要化为标注

dy的系数为1),否则易出错. dxdy 例7 求方程?y?sinx的通解.

dxdy 解:首先求线性齐次方程?y的通解,

dx 标准式(

分离变量得:

dy?dx,两边同时积分, y 得:y?cex,因而可设原方程的通解为: y?c(x)ex,则

dydc(x)x?e?exc(x), dxdx 将之入原方程,得:

dc(x)dc(x)x?sinxe?x, e?exc(x)?c(x)ex?sinx,即:dxdx 两边积分得:c(x)??sinxe?xdx,而 ?sinxe?xdx???sinxd(e?x) =?sinxe?x??e?xd(sinx) =?sinxe?x??e?xcosxdx =?sinxe?x??cosxd(e?x) =?sinxe?x?cosxe?x??e?xd(cosx) ??e?x(sinx?cosx)??e?xsinxdx

从而:c(x)??e?x(sinx?cosx) (这里没加常 数 ),从而通解为:y??(sinx?cosx). D.伯努利方程及其解法 1.形式:形如

dy?p(x)y?Q(x)yn(n?0,1)的方程称为伯努利方 程. dx12122.解法:在方程两边同时成乘以y?n,做代换z?y1?n,则伯努利方程转化为新的未知函数z的线性方程C中方法解决之.

注意:n>0时,方程还有解y=0.

dyy?6?xy2例8.求方程dx的通解. xdz?(1?n)p(x)z?(1?n)Q(x),从而可用dx 解:方程两边同乘y?2,得:

y?2dyy?6y?2?xdxx,

即:y?2dy1?6?x (2.12) dxxydzdy??y?2,将之代入(2.12) dxdx 令 z?y?1, 则

得:

dz6??z?x. (2.13) dxxxxc(x) dz??6dx?z?c16, 记(2.13)之通解为:z?16,

xz 于是:

dzdc1(x)?6?x?6c1(x)x?7,将以上两式代入(2.13) dxdxxdc1(x)?x7, dx 得:dc(x)x?6?6c1(x)x?7??6c1(x)x?6?x?dx8x2c?z??x ?c1(x)??c 8x6 ,变量回代得原方程之

81x2c 通解为:??6,此外,方程还有解y=0.

y8x例9.解方程

dy?xy?x3y3. dx 解:这是n=3时的伯努利方程,令z=y1?3?y?2, 则方程可化为:

dz?2xz?2x3,这是一阶线性方程, dx2xdx?2xdx(??2x3e?dx?c)

应用公式得:z?e? =c(ex?x2?1) 这样,方程之通解为:

1x22?ce?x?1, 2y2 另外,方程有解:y=0. E.恰当微分方程与积分因子

1.形式:对于一阶方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0 (2.14) 如果其左端是某一函数u(x,y)的全微分,即

du(x,y)?M(x,y)dx?N(x,y)dy,则称此方程为恰当微分方程.

2.条件:若(2.14)中的M(x,y),N(x,y)在某一单连通区域D有一阶连

续的偏导数,则(2.14)为恰当微风方程 的充要条件为:

?M?N?,(x,y)?D. ?y?x3.解的形式:u?c. 4.解法:a.朴素化简法:由 再由

?u?M,得u(x,y)??M(x,y)dx??(y), ?x?u?M(x,y)?N,得?(y)?y4N(x,y)??dx??,(y) ?y?y 由上式解得?,(y),在积分之既得?(y). (当然这种解法具有对称性)

b.分项组合法:通过例题予以说明.(宜熟记课本54页(2.55))

c.利用原函数之积分仅与起始点有关,而与道路无 关求解.(旨在提醒有此法,一般不用) 例10.求(3x2?6xy2)dx?(6x2y?4y3)dy?0的通解.

2223?M?NM?3x?6xy,N?6xy?4y?12xy,?12xy 解:这里,此时:

?y?y 因此为恰当微分方程. a.朴素化简法.

?u?3x2?6xy2 令?x (2.15)

?u?6x2y?4y3 (2.16) ?y 对(2.15)关于x积分,得u?x3?3x2y2??(y) (2.17) 对(2.17)两边关于y求导,并对照(2.16),得: ?u?6x2y?d?(y)?6x2y?4y3,于是

?ydyd?(y)?4y3 dy 积分之,得:?(y)?y4,将?(y)?y4代入(2.17),得:

3224 u?x?3xy?y,从而通解为:x3?3x2y2?y4?c

b.分项组合法.

将上面方程重新组合得:

(3x2dx?4y3dy)?(6xy2dx?6x2ydy)?0,即:

d(x3)?d(y4)?d(3x2y2)?0,亦即:d(x3?y4?3x2y2)?0, 从而通解为:x3?y4?3x2y2?c.(此种方法需要多观察)

?y2?11?x2?例11 求解方程 ???dx???dy?0. 22?x??(x?y)?y(x?y)???y21???1x2?2xy???? 解:因为:??2?3, ?y?(x?y)2x??xy(x?y)(x?y)??? 故此方程为恰当微分方程.分项组合得:

xy11y2dxx2dyd(lny?lnx?)?0, dy?dx?,即 ??022x?yyx(x?y)(x?y) 从而方程之通解为:lnyxy??c. xx?y5. 定义:能使非恰当微分方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0变成恰当微分方程的连续可微函数u(x,y)(u(x,y)?0),称之为该方程的积分因子.即u(x,y)M(x,y)dx?u(x,y)N(x,y)dy?0,满足

?uM?uN?. ?y?x5.积分因子(只与x,y有关)的求解:

?M?N??(x)dx?y?x a.与x有关的积分因子.由, ??(x)得:u?e?N

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