选修4－4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系
[考纲传真] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x?λ＞0?，?x′＝λ·
φ：?的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角
y?μ＞0??y′＝μ·坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
ρ2＝x2＋y2，?
?x＝ρcos θ，??? y
?y＝ρsin θ；?tan θ＝x?x≠0?.
?
4．简单曲线的极坐标方程
曲线 圆心为极点，半径为r的圆 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ?π?圆心为?r，2?，半径为r的圆 ??过极点，倾斜角为α的直线 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ?π?过点?a，2?，与极轴平行的直线 ??极坐标方程 ρ＝r(0≤θ＜2π) π??πρ＝2rcos θ?－2≤θ≤2? ??ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π) θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) π??πρcos θ＝a?－2＜θ＜2? ??ρsin θ＝a(0＜θ＜π) [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )
π??
2，－(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是?.( ) 3???(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) ?π?
A.?1，2? ??C．(1,0)
π??
B.?1，－2? ??D．(1，π)
B [法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成π??
标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为?1，－2?.
??π?π???
θ＋1，－???法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos，故选B.] 2?，知圆心的极坐标为?2???
3．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) A．ρ＝
1π
，0≤θ≤
2cos θ＋sin θ
1π
B．ρ＝，0≤θ≤
4cos θ＋sin θπ
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
2
π
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
4A [∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝
π?1??0≤θ≤2?.]
?sin θ＋cos θ?
4．在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2 θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为________．
2
y＝x，?2222
(1,1) [由ρsinθ＝cos θ?ρsinθ＝ρcos θ?y＝x，又由ρsin θ＝1?y＝1，联立?
?y＝1
?x＝1，??故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．] ?y＝1.
π
5．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．
3π
6 [圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝，则
3tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.]
|－4|
＝2，所以4
平面直角坐标系中的伸缩变换(题组呈现)
1??x′＝x，x22?1．求椭圆＋y＝1经过伸缩变换
4??y′＝y
2
后的曲线方程．
1??x′＝x，
2[解] 由?
??y′＝y，
?x＝2x′，
得到? ①
?y＝y′.
2
4x′x22
将①代入＋y＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.
44x22
因此椭圆＋y＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.
4
?X＝ax?a＞0?，x2y2
?2．将圆x＋y＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：求a，
94?Y＝by?b＞0?，
2
2